七年级数学竞赛专题练习31讲 第28讲 带余除法.docxVIP

第28讲带余除法

一、填空题(每题5分，共50分)

1.若一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13，则满足条件的所有自然数有个.

2.假设一家旅馆共有30个房间，分别编以号码1~30，现在要在每个房间的钥匙上标上数字，为保密起见，要求数字用密码法，使服务员容易识别，而使局外人不易猜到.现在要求密码用两位数，左边的一个数字是原房号除以5所得的余数，右边的一个数字是原房号除以7所得的余数.那么标有36的钥匙所对应的原房号是号.

3.从小到大排列着的十个自然数1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干项之和是11的倍数的数组共有组.

4.已知A?1=3,3B+1

5.托马斯选定一个正整数，并且分别求出它被3，6和9除的余数.已知这三个余数之和为15，则用18去除该正整数的余数为.

6.设2005=c1?3a1

7.若从方格纸上的一个矩形可以沿方格线剪下360个2×2的矩形，则从这个矩形可以沿方格线剪下至少个1×7的矩形.

8.对于给定的正整数n，数字1?+2?+3?+4?的末尾最多有个零.

9.以100去除某个正整数所得的不完全商与余数之和等于以2020去除这个数所得的不完全商与余数之和.这两个不完全商可能的取值为.

10.已知正整数p，q都是质数，且7p+q与pq+11也是质数，那么代数式

p

的值为.

二、解答题(每题10分，共50分)

设p3,且p与2+p均为质数.求证:2??1+p为合数.

12.设m,n为整数,且m≥1,n≥1,使得7?mn

13.证明：任何小于n！的正整数都可以表示为数n！的不多于n个正因数之和.

14.已知p为大于1的正整数，且(p10=1..证明：存在由1或3所组成的十进制的(

15.所有的正整数都被分别染为N种颜色之一，并且每种颜色的整数都有无穷多个.今知，任何两个奇偶性相同的正整数的算术平均值的颜色都只与该两个数的颜色有关(例如，蓝色的数与红色的数的算术平均值一定是黄色的，如此等等)

(1)证明：任何两个奇偶性相同的同色正整数的算术平均值都一定与它们同色.

(2)试问：对于怎样的N可以实现这种染色?

一、填空题(每题5分，共50分)

1.【答案】9.

【解析】设所求自然数为m，除以8的商为a，余数为r(0≤r8),设n除以9的商为b,依题意得,n除以9的余数为13-a.则0≤13-a9,即4a≤13.又n=8a+r=9b+(13-a),整理得9(a-b)=13-r,所以9|(13-r).又由0≤r8,知513-r≤13,所以13-r=9,即r=4.

故满足条件的所有自然数为n=8a+4(4a≤13),即44、52、60、68、76、84、92、100、108,共9个.评注注意带余除法表达式m=ng+r中有隐含条件0≤rn(其中n为除数,r为余数).

2.【答案】13.

【解析】设所求原房间号为x，则x除以5的余数为3，x除以7的余数为6.由于数字1~30除以7的余数为6的数有6、13、20、27，而这四个数除以5余3的数只有13.

3.【答案】7.

【解析】设Si为前i个数之和，则易计算得S?=1,S?=5,S?=13,S?=23,S?=39,S?=58,S?=79,S?=104,S?=134,S??=177.

这10个数被11除的余数依次为1、5、2、1、6、3、2、5、2、1,凡余数相同的S;的差能被11整除,它们是S??S?,S???S?,S???S?,S??S?,S??S?,S?-S?,S?-S?共7个.

4.【答案】1.

【解析】由于2020A?1=3,3B+1

因为31=3,32=9,33=27,3?=81,3?=243,3?=729,…,所以3*(k=1,2,…)的末位数字呈现周期性循环,且周期是4,又因为2020=505×4,所以32?2?的末位数字是1,故A+B的末位数字是1.

5.【答案】17.

【解析】因为被3、6、9除的余数分别不大于2、5、8，所以这三个余数之和一定不大于2+5+8=15.而且等号只有当这三个余数分别就是2、5、8时才成立.又因为该数被9除的余数为8，所以它被18除的余数只能是8或17.如果该余数为8，那么，该数为偶数，从而它被6除的余数不可能为5.于是该数被18除所得余数为17.

6.【答案】22.

【解析】根据题意可知，

2005+3?+33+3=3?+3?+32+3?,从而2005=3??3?+3??33+32?