初中七年级数学竞赛培优专题31讲第6讲 整式的概念和整式的加减.docxVIP

第6讲整式的概念和整式的加减

知识方法

1.整式的概念

(1)单项式与多项式统称整式.

(2)单项式：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，单独一个字母或数也是单项式.单项式中的数字因数叫作单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫作单项式的次数.

(3)多项式：几个单项式的和叫作多项式.在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中，不含字母的项叫作常数项.

一个多项式有几项就叫作几项式，次数最高的项的次数就叫作多项式的次数.

把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小(或从小到大)的顺序排列叫作降(或升)幂排列法.

2.整式的加减

(1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，几个常数也是同类项.

(2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫作合并同类项.整式的加减实际就是合并同类项.

(3)去(添)括号：括号前面去掉(或添上)“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉(或添上)“一”号，括号里各项都变号.

若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去，二是可以从外向里去，三是可以里外同时去.在不影响计算结果的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算.

经典例题解析

【例6-1】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有().

(A)4个(B)12个(C)15个(D)25个

解设满足条件的单项式为abc的形式,其中m、n、p为正整数,且m+n+p=7.指数m、n、p只能有如下四组可能:1,1,5;1,2,4;1,3,3;2,2,3.

所以满足条件的单项式有bc?,ab?c,a?bc;ab2c?,a2bc?,a?bc2;ab?c2,a2b?c,a?b2c;ab3c3,a3bc3,a3b3c;a2b2c3,a2b3c2,a3b2c2总计有15个，故选C.

【例6-2】在多项式1993u?v?+3x?y?+u3?v2??4x??1y2???(其中m、n为正整数)中恰有两项是同类项，则mn=.

解若1993uv与u3?v2?是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾.故只有3x?y?与?4x??1y2???为同类项,于是m=n—1且n=2m—4,解得m=5,n=6,于是mn=30.

【例6-3】已知有如下一组x、y和z的单项式：7x3z

将这组单项式按上述法则排序，那么，9y3z应排在第位.

解将这组单项式按上述法则排序：9x

【例6-4】小敏购买的4种数学用品，即计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列表如下：

品名

计算器

圆规

三角板

量角器

总钱数/元

第一次购件数

1

3

4

5

78

第二次购件数

1

5

7

9

98

则4种数学用品各买一件共需元.

解设计算器、圆规、三角板、量角器每件价格分别为x、y、z、u元，则有

①x+3y+4z+5u=78,x+5y+7z+9u=98.

式①×2—式②,得x+y+z+u=58,即4种数学用品各买一件共需58元.

【例6-5】已知关于x的整系数二次三项式ax2+bx+c,当x取1、3、6、8时,某同学算得这个二次三项式的值y分别是1、5、25、50.经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是().

(A)x=1时y=1(B)x=3时y=5

(C)x=6时y=25(D)x=8时y=50

解若四式成立，则有

①a+b+c=1,9a+3b+c=5,

式③一式②，得27a+3b=20，此式左边是3的倍数，而右边不是3的倍数，所以在式②和式③两式中必有一式错误.

式④一式③，得28a+2b=25，此式左边是偶数，而右边不是偶数，所以在式③和式④两式中也必有一式错误.所以式③错误.

故选C.

【例6-6】(1)x,y均为整数,若5|(x+9y),求证:5|(8x+7y).

(2)x、y、z均为整数,若11|(7x+2y-5z),求证:11|(3x-7y+12z).

(注：a|b表示整数b能被整数a整除.)

证明(1)因为5|(x+9y),故5|(2x+18y),又显然5|(10x+25y),而8x+7y=(10x+25y)-(2x+18y),所以5|(8x+7y).

(2)因为4(3x—7y+12z)+3(7x+2y—5z)=11(3x—2y+3z),而11|11(3x—2y+3z),且11|(7x+2y-5z),所以11|4(3x-7y+12z).