初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 18讲 一次方程组的应用.docxVIP

第18讲一次方程组的应用

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在实际问题中，经常会遇到多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型.要学会将实际问题转化为数学问题，列出二元一次方程组，求得符合实际的解.

除了常规的方法外，要善于从问题的实际情况出发，灵活地应用消元、引入辅助未知数、运用整数的性质以及实际问题中出现的不等关系来解题.

经典例题解析

【例18-1】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁.”同学们，你说甲、乙现在各多少岁?

解设甲现在x岁，乙现在y岁，依题意，得x?y=y?4,61?x=x?y,解得

答:甲现在42岁,乙现在23岁.

【例18-2】甲、乙、丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送.先由甲送给乙、丙，所给的枚数等于乙、丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲、丙现有的邮票数，最后由丙送给甲、乙现有的邮票数.互相送完后，每人恰好各有64枚.你能知道他们原来各有邮票多少枚吗?说出你的思考过程：

解可通过设未知数列出下表：

人员

甲

乙

丙

原有

x

y

z

第一次送后

x-y-z

2y

2z

第二次送后

2(x-y-z)

2y-(x-y-z)-2z

4z

第三次送后

4(x-y-z)

2[2y-(x-y-z)-2z]

4z-2(x-y-z)-

[2y-(x-y-z)-2z]

所以有4(x-y-z)=2[2y-(x-y-z)-2z]=4z-2(x-y-z)-[2y-(x-y-z)-2z]=64.解得x=104,y=56,z=32.

评选除了用列方程组的方法外，本题还有以下两种解法：

(1)逆推法

人员

甲

乙

丙

第三次送后

64

64

64

第二次送后

32

32

128

第一次送后

16

112

64

原有

104

56

32

(2)列一元一次方程法

设甲原有邮票x枚,可得方程[x-(192-x)]×2×2=64,解得x=104.

设乙原有邮票y枚,可得方程[2y-(192-2y)]×2=64,解得y=56.

设丙原有邮票z枚,可得方程4z—(192—4z)=64,解得z=32.

【例18-3】铜银合金10kg,如加入定量铜后,铜:银=3:2;如加入2倍的定量铜后,铜:银=7:3,那么,定量铜是kg.

解设合金中含铜xkg,则含银(10—x)kg,加入定量的铜为akg,依题意,得x+a

解得x=4,a=5.

故加入的定量铜为5kg.

【例18-4】江堤边一洼地发生了灌涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min恰可抽完；如果用4台抽水机抽水，16min恰可抽完.如果要在10min内抽完水，那么至少需要抽水机台.

解设开始抽水前管涌已经涌出的水量为am3，管涌每分钟涌出的水量为bm3，又设每台抽水机每分钟可抽水(cm3

由条件可得a+40b=2×40c,a+16b=4×16c,解得

a+10b10c

【例18-5】龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒,它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元.铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵.求出每种笔的价格.

解设5种笔的价格依次为每支圆珠笔a元，每支彩笔b元，每支铅笔c元，每支签字笔d元,每支荧光笔e元.则b—c=30,eda,且有a+b+c+d+e=1

因为在题设中所给价格相差30元的有290,320;340,370;360;390.又由b—c=30,eda,知a+b=320,c+a=290,b+d=370,c+d=340,b+e=390,c+e=360.

解得a=180,b=140,c=110,d=230,e=250.

因此，荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别为每支250元、230元、180元、140元、110元.

【例18-6】甲、乙两人到商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种.已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件?

解设每人购买了n件商品，两人共购买了单价为8元的x件，单价为9元的有y件.则x+y=2n,8x+9y=172,解得

因为x≥0,y≥0,所以9

所以整数n=10.故x=8,

即两人共购买了单价为8元的8件，单价为9元的有12件.

【例18-7】某工地要制作100套钢筋,每套为3根,它们的长度分别为2.9m、2.1m、1.5m,原材料每根长7.