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第18讲一次方程组的应用
知识方法扫描
在实际问题中,经常会遇到多个未知量的问题,和一元一次方程一样,二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型.要学会将实际问题转化为数学问题,列出二元一次方程组,求得符合实际的解.
除了常规的方法外,要善于从问题的实际情况出发,灵活地应用消元、引入辅助未知数、运用整数的性质以及实际问题中出现的不等关系来解题.
经典例题解析
【例18-1】甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁.”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁.”同学们,你说甲、乙现在各多少岁?
解设甲现在x岁,乙现在y岁,依题意,得x?y=y?4,61?x=x?y,解得
答:甲现在42岁,乙现在23岁.
【例18-2】甲、乙、丙三人各有邮票若干枚,要求互相赠送.先由甲送给乙、丙,所给的枚数等于乙、丙原来各有的邮票数;然后依同样的游戏规则再由乙送给甲、丙现有的邮票数,最后由丙送给甲、乙现有的邮票数.互相送完后,每人恰好各有64枚.你能知道他们原来各有邮票多少枚吗?说出你的思考过程:
解可通过设未知数列出下表:
人员
甲
乙
丙
原有
x
y
z
第一次送后
x-y-z
2y
2z
第二次送后
2(x-y-z)
2y-(x-y-z)-2z
4z
第三次送后
4(x-y-z)
2[2y-(x-y-z)-2z]
4z-2(x-y-z)-
[2y-(x-y-z)-2z]
所以有4(x-y-z)=2[2y-(x-y-z)-2z]=4z-2(x-y-z)-[2y-(x-y-z)-2z]=64.解得x=104,y=56,z=32.
评选除了用列方程组的方法外,本题还有以下两种解法:
(1)逆推法
人员
甲
乙
丙
第三次送后
64
64
64
第二次送后
32
32
128
第一次送后
16
112
64
原有
104
56
32
(2)列一元一次方程法
设甲原有邮票x枚,可得方程[x-(192-x)]×2×2=64,解得x=104.
设乙原有邮票y枚,可得方程[2y-(192-2y)]×2=64,解得y=56.
设丙原有邮票z枚,可得方程4z—(192—4z)=64,解得z=32.
【例18-3】铜银合金10kg,如加入定量铜后,铜:银=3:2;如加入2倍的定量铜后,铜:银=7:3,那么,定量铜是kg.
解设合金中含铜xkg,则含银(10—x)kg,加入定量的铜为akg,依题意,得x+a
解得x=4,a=5.
故加入的定量铜为5kg.
【例18-4】江堤边一洼地发生了灌涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用两台抽水机抽水,40min恰可抽完;如果用4台抽水机抽水,16min恰可抽完.如果要在10min内抽完水,那么至少需要抽水机台.
解设开始抽水前管涌已经涌出的水量为am3,管涌每分钟涌出的水量为bm3,又设每台抽水机每分钟可抽水(cm3
由条件可得a+40b=2×40c,a+16b=4×16c,解得
a+10b10c
【例18-5】龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格,这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒,它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元.铅笔比彩笔便宜30元,签字笔比圆珠笔贵,荧光笔比签字笔贵.求出每种笔的价格.
解设5种笔的价格依次为每支圆珠笔a元,每支彩笔b元,每支铅笔c元,每支签字笔d元,每支荧光笔e元.则b—c=30,eda,且有a+b+c+d+e=1
因为在题设中所给价格相差30元的有290,320;340,370;360;390.又由b—c=30,eda,知a+b=320,c+a=290,b+d=370,c+d=340,b+e=390,c+e=360.
解得a=180,b=140,c=110,d=230,e=250.
因此,荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别为每支250元、230元、180元、140元、110元.
【例18-6】甲、乙两人到商店购买商品,商品里每件商品的单价只有8元和9元两种.已知两人购买商品的件数相同,且两人购买商品一共花费了172元,求两人共购买了两种商品各几件?
解设每人购买了n件商品,两人共购买了单价为8元的x件,单价为9元的有y件.则x+y=2n,8x+9y=172,解得
因为x≥0,y≥0,所以9
所以整数n=10.故x=8,
即两人共购买了单价为8元的8件,单价为9元的有12件.
【例18-7】某工地要制作100套钢筋,每套为3根,它们的长度分别为2.9m、2.1m、1.5m,原材料每根长7.
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