初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 23讲 估计和估算.docxVIP

第23讲估计和估算

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估计和估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：

(1)省略尾数取近似值，即观其“大概”.

(2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围.

经典例题解析

【例23-1】A=12345678910111213÷31211101987654321,求A的小数点后前3位数字.

解A1234÷3122=0.3952…

A1235÷3121=0.3957…

所以0.3952A0.3957,A的小数点后前3位数是395.

神经例23-1解法是采用放缩法估计范围解答的，还可采用取近似值的办法求解.解法如下：

将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有

1234÷3121≈0.3953≈0.395.

【例23-2】七位数175□62□的末位数字是几时，不管千位上是0~9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数?

解因为1750620÷11=159147……3,1759629÷11=159966……3.

所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628，最大值是1759626.

又因为1001=7×11×13,由数的整除性质,可知1750628加上若干个1001,或1759626减去若干个1001后,其值也是11的倍数.这样1750628,1751629,1759626,1758625,1757624,1756623,1755622,1754621,1753620都是11的倍数.

由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时，不管其千位上是0~9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数.

停车例23-2解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论.也可从能被11整除的数的特征入手解决.留给读者思考.

【例23-3】有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几?

解105+852

冲进注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n+1之间，或者写成n≤an+1，此时n就是a的整数部分.因此确定某个正数的整数部分，实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间.

【例23-4】求下式中S的整数部分：

S=

解根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”的定律对S的分母进行放缩.

因为1

1

所以即9S10,因此,S的整数部分是9.

1

停胜例23-4如果直接去计算191

【例23-5】将自然数按如下顺序排列：

12671516…

3581417…

4913…

1012…

11…

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列.

问：数字168排在第几行第几列?

分析我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律.这里第2斜行的数字是3，2；第3斜行的数字是4，5，6；依此类推.仔细观察后我们发现：

奇数斜行中的数字由下向上递增；

偶数斜行中的数字由上向下递增；

第n斜行中最大的数字是S

我们只要找出168位于第几斜行，再换算成原数阵中的第几行第几列，问题便解决了.

解法1经试算，第17斜行中最大的数字是12

解法2为方便起见，可将数阵按顺时针方向旋转45°，则原数阵变为

1

32

456

10987

1112131415

…

设168位于上述数阵的第n行,则1+2+…+(n—1)168≤1+2+…+n,从而n

当n=18时,有18×17

可见，n应为18，即168位于上述数阵中的第18行.

又因为168—153=15,18—15+1=4,由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数，从右数第15个数.将上述数阵还原为题中数阵，168在第15行第4列的位置上.

【例23-6】唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑，米老鼠每分钟跑125m，唐老鸭每分钟跑100m.唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10%倒退1min，然后再按原来的速度继续前进.如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次?

解唐老鸭跑完1万米需要100min.设唐老鸭在100min内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令,则在100min内米老鼠有nmin的时间在倒退,有(100—n)min的时间在前进