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第23讲估计和估算
知识方法扫描
估计和估算是一种十分重要的算法,在生活实践和数学解题中有广泛的应用,其表现形式通常有以下两种:
(1)省略尾数取近似值,即观其“大概”.
(2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围,即估计范围.
经典例题解析
【例23-1】A=12345678910111213÷31211101987654321,求A的小数点后前3位数字.
解A1234÷3122=0.3952…
A1235÷3121=0.3957…
所以0.3952A0.3957,A的小数点后前3位数是395.
神经例23-1解法是采用放缩法估计范围解答的,还可采用取近似值的办法求解.解法如下:
将被除数、除数同时舍去13位,各保留4位,则有
1234÷3121≈0.3953≈0.395.
【例23-2】七位数175□62□的末位数字是几时,不管千位上是0~9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数?
解因为1750620÷11=159147……3,1759629÷11=159966……3.
所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628,最大值是1759626.
又因为1001=7×11×13,由数的整除性质,可知1750628加上若干个1001,或1759626减去若干个1001后,其值也是11的倍数.这样1750628,1751629,1759626,1758625,1757624,1756623,1755622,1754621,1753620都是11的倍数.
由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时,不管其千位上是0~9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数.
停车例23-2解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论.也可从能被11整除的数的特征入手解决.留给读者思考.
【例23-3】有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数,那么第19个数的整数部分是几?
解105+852
冲进注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n+1之间,或者写成n≤an+1,此时n就是a的整数部分.因此确定某个正数的整数部分,实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间.
【例23-4】求下式中S的整数部分:
S=
解根据“一个分数,当分子不变而分母变大时,分数值变小;当分子不变,分母变小时,分数值变大”的定律对S的分母进行放缩.
因为1
1
所以即9S10,因此,S的整数部分是9.
1
停胜例23-4如果直接去计算191
【例23-5】将自然数按如下顺序排列:
12671516…
3581417…
4913…
1012…
11…
在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,数字13排在第3行第3列.
问:数字168排在第几行第几列?
分析我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律.这里第2斜行的数字是3,2;第3斜行的数字是4,5,6;依此类推.仔细观察后我们发现:
奇数斜行中的数字由下向上递增;
偶数斜行中的数字由上向下递增;
第n斜行中最大的数字是S
我们只要找出168位于第几斜行,再换算成原数阵中的第几行第几列,问题便解决了.
解法1经试算,第17斜行中最大的数字是12
解法2为方便起见,可将数阵按顺时针方向旋转45°,则原数阵变为
1
32
456
10987
1112131415
…
设168位于上述数阵的第n行,则1+2+…+(n—1)168≤1+2+…+n,从而n
当n=18时,有18×17
可见,n应为18,即168位于上述数阵中的第18行.
又因为168—153=15,18—15+1=4,由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数,从右数第15个数.将上述数阵还原为题中数阵,168在第15行第4列的位置上.
【例23-6】唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑,米老鼠每分钟跑125m,唐老鸭每分钟跑100m.唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米老鼠就以原来速度的n×10%倒退1min,然后再按原来的速度继续前进.如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次?
解唐老鸭跑完1万米需要100min.设唐老鸭在100min内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令,则在100min内米老鼠有nmin的时间在倒退,有(100—n)min的时间在前进
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