第1章-随机变量(概率论与数理统计(东南大学课件)课件).pptVIP

实用概率统计

主编：于义良张银生东南大学数学系例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离，试求X的分布函数。3.关于连续型随机变量的一个重要结论:定理:设X为连续型随机变量，则它取任一指定的实数值a的概率均为0。即P{X=a}=0。几个常用的连续型随机变量的分布例2.设有6个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比较两个系统的可靠性。系统一:先串联后并联A1B1A2B2B3A3系统二:先并联后串联A1B1A2B2A3B3解:用Ai,Bi,表示如图中诸元件能正常工作的事件,i=1,2,3。C1,C2表示系统一、二可靠的事件。则有C1=(A1A2A3)∪(B1B2B3)C2=(A1∪B1)(A2∪B2)(A3∪B3)于是P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3)-P(A1A2A3B1B2B3)=p3+p3-p6=p3(2-p3)P(C2)=(p+p-p2)3=p3(2-p)3,当0p1时,P(C2)P(C1)。一般地2n个元件组成以上两个系统,P(C1)=pn(2-pn),P(C2)=pn(2-p)n,有P(C2)P(C1)。(0p1)例3.要验收一批(100件)乐器。验收方案如下:从中任取3件相互独立地测试,若3件乐器经测试后都认为是音色纯的，则接收这批乐器。设一件音色不纯的乐器经测试认为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为音色不纯的概率为0.01。若这100件乐器中恰有4件音色不纯,试问这批乐器被接收的概率是多少?作业：P18.3,4,8,10,13,16.§1.3随机变量及其分布有一些随机试验的结果初看起来与数值无关,如抛硬币得正面或反面、考察新生婴儿的性别等等。为了数学处理的方便以及理论研究的需要,我们也可以把它们与数值联系起来，由此引入随机变量的概念.有许多随机试验的每种结果都对应着一个数值,如产品检查问题中关心的是次品数、测量时考虑的是测量误差、以及气体分子运动的速度等等。1.随机变量下面先看两个例子：即X(ω)是定义在样本空间Ω上的一个实函数,对于不同的试验结果ω,X取不同的值,由于试验结果是随机的,因而函数X(ω)的取值也是随机的,我们称X(ω)为随机变量。例2.考虑“测试灯泡寿命”的试验,其结果是用数量表示的,记灯泡的寿命为X,则X是定义在样本空间Ω={ω}={t|t≥0}上的函数,即X=X(ω)=t,ω=t∈Ω。它也是随机变量，它的值域是RX=[0,+∞）。定义:设随机试验E的样本空间是Ω={ω}，若对于每一个ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,即X=X(ω)是定义在Ω上的单值实函数，称它为随机变量(randomvariable,简记为r.v.)。ωΩX(ω)Rx注:(1)可用随机变量X描述事件,如掷一颗骰子,设出现的点数记为X,若事件A为“掷出的点数大于2”,则A可表示为“X2”。(2)随机变量随着试验的不同结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性。随机变量的引入，使我们可以利用数学分析的方法来研究随机试验，随机变量是研究随机试验的有效工具。2.离散型随机变量的概率分布定义若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个,则称为离散型随机变量。例如前面抛硬币试验中引入的随机变量只取0，1两个值；火车站一天内到达的乘客人数等等都是离散型随机变量。Xx1x2…xi…Pp1p2…pi...离散型随机变量的分布列例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分