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2024年中考数学重点知识冲刺训练-
二次函数与角度有关的问题
1.如图,平面直角坐标系中,二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点,,是第一象限内二次函数图象上一动点,过点作于点,交于点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)求的最大值.
(3)如图2,过点作的垂线,交轴于点,交二次函数图象的对称轴于点,连接、,是否存在点使得?若存在,直接写出点的横坐标,若不存在,请说明理由.
2.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴负半轴交于点,点的坐标为,,连接.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)如图1,为线段上一点,连接,.当时,求点的坐标;
(3)如图2,若点、在抛物线上,点的横坐标为,点的横坐标为.过点作轴的平行线交线段于点,过点作轴的平行线交线段于点,连接.当四边形的面积最大时,求证:四边形是平行四边形.
3.在平面直角坐标系中,抛物线过点和点,交轴于两点(点在点的左侧).
??
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点为线段下方抛物线上一动点,过点作交于点,作轴交轴于点,求的最大值及此时点的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,连接,将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线,问在平移后的拋物线上是否存在点,使得,请直接写出所有符合条件的点的坐标.
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与y轴相交于点A,顶点为B,直线与x轴相交于点C.
(1)当时,抛物线顶点B的坐标为______,______;
(2)的长是否与a值有关,说明你的理由;
(3)设,,求a的取值范围;
(4)以为斜边,在直线的右上方作等腰直角三角形.设,直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.
5.综合与探究
如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,两点,与y轴交于点C,点P是抛物线上的一动点,且点P的横坐标为m.
(1)直接写出点A,C的坐标,及抛物线和直线的表达式;
(2)如图2,若点P在第三象限,连接,,用含m的代数式表示的面积;
(3)连接,若,直接写出点P的坐标.
6.如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A、C,与y轴交于点B,并且经过不同的两点、,当时,总有.直线l经过点B和点C,点D为抛物线的顶点,连接.???
(1)求b的值;
(2)请求出四边形的面积;
(3)直线l绕点C逆时针旋转,与直线重合时终止运动,在旋转过程中,直线l与线段交于点P,点P与点A、B不重合,点M为线段的中点.
①过点P作于点E,于点F,连接,在旋转的过程中的大小是否发生变化,若不变化,求出的度数;若发生变化,请说明理由;
②在①的条件下,连接,直接写出线段的最小值.
7.已知抛物线经过点和点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为第四象限内抛物线上的点,连接,如图1,若的面积为1,求P点坐标;
(3)设点M为抛物线上的一点,若时,求M点坐标.
8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线下方抛物线上一动点,过点P作于点E,过点P作交x轴于点D,求的最大值及此时点P的坐标;
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度,平移后的抛物线上一点G,使得,请直接写出所有符合条件的点G的横坐标.
9.综合与探究:
如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过,两点且与轴的正半轴交于点.
(1)求的值及抛物线的解析式.
(2)如图①,若点为直线上方抛物线上一动点,当时,求点的坐标;
(3)如图②,若是线段的上一个动点,过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、,连接.设点的横坐标为.
①当为何值时,线段有最大值,并写出最大值为多少;
②是否存在以,,为顶点的三角形与相似,若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
10.如图,抛物线交x轴正半轴于点A,过顶点作轴于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若时,则函数的取值范围是______;
(3)点为右侧第一象限抛物线上一点,过点作轴于点,点为轴正半轴上一点,连接,,延长线交轴于点B,点在轴负半轴上,连接、,若,求直线的解析式.
11.如图,抛物线与y轴交于点,点B是抛物线的顶点,直线是抛物线的对称轴,且与x轴交于点C.
??
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点D是对称轴左侧抛物线上一点,连接,求点D的坐标.
(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点,点P在坐标平面内,且以点A,D,M,P为顶点的四边形是以为边的菱形,请求出所有符合条件的点M的坐标
12.如图,抛物线的图象与轴交于,两点(
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