向量概念的推广与应用教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

向量概念的推广及其应用

教科书

书名：数学选择性必修第一册教材

出版社：人民教育出版社出版社出版日期：2020年5月

教学目标

1.能通过平面向量、空间向量推广维向量的概念，并会维向量的加法、减法、数乘、数量积运算，以及向量的模长运算。

2.能运用维向量空间两点间的“距离”构建数学模型根据每个学生的身高，胸围，腰围，肩宽选择合适的校服型号。

教学内容

教学重点：

1.维平面向量，维空间向量到维向量的推广。

2.维向量空间中两点间“距离”的定义。

3.运用向量探究服装厂如何安排各种型号服装的生产数量。

教学难点：

1.维向量的推广。

2.本课时单元的教学难点是学生定义维向量空间中两点间的“距离”，通过“距离”构建模型，借助软件的计算，使提出的模型得以实现.

教学过程

一、教学过程

环节一创设情境，引入问题

引导语翱翔校服有限公司根据以往制作军训服装的经验，得出适用于本地区高一新生的8种服装标准型号及相应的测量指标参数值，

表1.军训服装标准型号及相应的测量指标参数值

为了给万州高级中学1000名高一新生制作军训服装，翱翔公司测量了每名学生的身高、胸围、腰围、肩宽等，得到四个数据，如何根据这些数据得出8种标准型号的服装各应制作的套数呢？

师生活动学生分析问题中的信息、数据，发散思维，联想所学知识寻找解决问题的方法，并小组交流.

师生一起总结：问题的关键是根据身高、胸围、腰围、肩宽的一组数据确定服装型号，因此需要制定一个判断准则，根据准则确定服装型号.

环节二推广向量概念，学习相关运算

问题一身高、胸围、腰围、肩宽涉及到四个量，学习的知识点中是否有涉及四个量的概念.

师生活动学生独立思考，然后小组交流讨论.得出结论：平面向量涉及两个量，空间向量涉及三个量，关于四个量，可以建立四维的向量，分别表达身高、胸围、腰围和肩宽.

追问1如果涉及个变量又如何处理？并尝试总结相关概念.

师生活动小组交流讨论，再进行班级发言，师生一起总结出：一般地，对于个变量，每个变量对应的大小分别为，它们组成的有序实数组称为维向量.例如：在汽车生产线上，对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每千米耗油、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试，每辆新车质量可用六元有序实数组表示.

追问2类似二维向量，对于维向量，请定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）”.

师生活动学生思考，小组交流讨论，学生得出以下：

设，，则

①；②；

③；

④；

教师总结：特殊到一般的数学思想常用于数学探究活动，这是我们思考问题的一种方式.比较二维向量、三维向量、维向量的加、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的模运算规则相同，仅是维度的增加.

追问3维向量空间中两点间的“距离”如何表达.

师生活动学生类比二维向量、三维向量中两点间的距离，得出结论：维向量空间中，两点间的“距离”.

[设计意图]引导学生发散思维，将身高、胸围、腰围和肩宽四个量联想到平面向量、空间向量，根据问题的需要推广向量的概念，并给出具体概念.通过特殊到一般的思想，学生给出维向量的相关运算.然后追问如何定义维向量空间中两点间的“距离”，学生思考，经历特殊到一般的思维过程，独立给出维向量空间中两点间的“距离”的定义.让学生从数学角度思考实际情境问题，关联数学知识，发散思维，一步一步地抽丝剥茧般思考问题，让学生树立善于思考、严谨求实的科学精神。

环节三发散思维，构建模型解决问题

问题2若甲同学的身高为，胸围，腰围，肩宽，请同学们用四维向量表示甲同学的数据，思考服装生产商应该为甲同学生产哪种型号的服装，并说明理由.

师生活动学生按照身高、胸围、腰围、肩宽的顺序将甲同学的数据表示成维向量，表示为点，同理求出种服装型号对应的点（见表2）。学生借助计算器、或者数学软件独立计算出到的“距离”，然后让学生代表给出结果，见表2，由表可知，最小，所以应该为甲同学准备XL型号军训服装。

表2.计算的空间距离

追问1请同学们总结上述给学生确定合适的服装型号的步骤。

师生活动学生小组讨论，得出如下结论：

第一步，测量数据，确定每位学生关于身高、胸围、腰围和肩宽的四维向量空间的点，；

第二步，分别计算点与点的“距离”；

第三步，比较“距离”大小，找到最小“距离”，选定合适型号的服装.

追问2请用一个函数的表达概述我们构建的模型。

师生活动小组交流探讨，师生一起得出结论：记序号为的学生对应的点为，

求出，

则为对应的服装型号（,分别表示型号XXS，XS，X，…，XXL，XXXL）.

追问3若，请分析造成这