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教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
秋季
课题
向量概念的推广及其应用
教科书
书名:数学选择性必修第一册教材
出版社:人民教育出版社出版社出版日期:2020年5月
教学目标
1.能通过平面向量、空间向量推广维向量的概念,并会维向量的加法、减法、数乘、数量积运算,以及向量的模长运算。
2.能运用维向量空间两点间的“距离”构建数学模型根据每个学生的身高,胸围,腰围,肩宽选择合适的校服型号。
教学内容
教学重点:
1.维平面向量,维空间向量到维向量的推广。
2.维向量空间中两点间“距离”的定义。
3.运用向量探究服装厂如何安排各种型号服装的生产数量。
教学难点:
1.维向量的推广。
2.本课时单元的教学难点是学生定义维向量空间中两点间的“距离”,通过“距离”构建模型,借助软件的计算,使提出的模型得以实现.
教学过程
一、教学过程
环节一创设情境,引入问题
引导语翱翔校服有限公司根据以往制作军训服装的经验,得出适用于本地区高一新生的8种服装标准型号及相应的测量指标参数值,
表1.军训服装标准型号及相应的测量指标参数值
为了给万州高级中学1000名高一新生制作军训服装,翱翔公司测量了每名学生的身高、胸围、腰围、肩宽等,得到四个数据,如何根据这些数据得出8种标准型号的服装各应制作的套数呢?
师生活动学生分析问题中的信息、数据,发散思维,联想所学知识寻找解决问题的方法,并小组交流.
师生一起总结:问题的关键是根据身高、胸围、腰围、肩宽的一组数据确定服装型号,因此需要制定一个判断准则,根据准则确定服装型号.
环节二推广向量概念,学习相关运算
问题一身高、胸围、腰围、肩宽涉及到四个量,学习的知识点中是否有涉及四个量的概念.
师生活动学生独立思考,然后小组交流讨论.得出结论:平面向量涉及两个量,空间向量涉及三个量,关于四个量,可以建立四维的向量,分别表达身高、胸围、腰围和肩宽.
追问1如果涉及个变量又如何处理?并尝试总结相关概念.
师生活动小组交流讨论,再进行班级发言,师生一起总结出:一般地,对于个变量,每个变量对应的大小分别为,它们组成的有序实数组称为维向量.例如:在汽车生产线上,对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每千米耗油、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试,每辆新车质量可用六元有序实数组表示.
追问2类似二维向量,对于维向量,请定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)”.
师生活动学生思考,小组交流讨论,学生得出以下:
设,,则
①;②;
③;
④;
教师总结:特殊到一般的数学思想常用于数学探究活动,这是我们思考问题的一种方式.比较二维向量、三维向量、维向量的加、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的模运算规则相同,仅是维度的增加.
追问3维向量空间中两点间的“距离”如何表达.
师生活动学生类比二维向量、三维向量中两点间的距离,得出结论:维向量空间中,两点间的“距离”.
[设计意图]引导学生发散思维,将身高、胸围、腰围和肩宽四个量联想到平面向量、空间向量,根据问题的需要推广向量的概念,并给出具体概念.通过特殊到一般的思想,学生给出维向量的相关运算.然后追问如何定义维向量空间中两点间的“距离”,学生思考,经历特殊到一般的思维过程,独立给出维向量空间中两点间的“距离”的定义.让学生从数学角度思考实际情境问题,关联数学知识,发散思维,一步一步地抽丝剥茧般思考问题,让学生树立善于思考、严谨求实的科学精神。
环节三发散思维,构建模型解决问题
问题2若甲同学的身高为,胸围,腰围,肩宽,请同学们用四维向量表示甲同学的数据,思考服装生产商应该为甲同学生产哪种型号的服装,并说明理由.
师生活动学生按照身高、胸围、腰围、肩宽的顺序将甲同学的数据表示成维向量,表示为点,同理求出种服装型号对应的点(见表2)。学生借助计算器、或者数学软件独立计算出到的“距离”,然后让学生代表给出结果,见表2,由表可知,最小,所以应该为甲同学准备XL型号军训服装。
表2.计算的空间距离
追问1请同学们总结上述给学生确定合适的服装型号的步骤。
师生活动学生小组讨论,得出如下结论:
第一步,测量数据,确定每位学生关于身高、胸围、腰围和肩宽的四维向量空间的点,;
第二步,分别计算点与点的“距离”;
第三步,比较“距离”大小,找到最小“距离”,选定合适型号的服装.
追问2请用一个函数的表达概述我们构建的模型。
师生活动小组交流探讨,师生一起得出结论:记序号为的学生对应的点为,
求出,
则为对应的服装型号(,分别表示型号XXS,XS,X,…,XXL,XXXL).
追问3若,请分析造成这
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