2024年中考数学专题复习讲义+--几何最值之将军饮马求和模型.docx

几何最值之将军饮马求和模型

模型典故

古语云：兵贵神速.谁都想要快人一步，大家速度差不多的情况下，就看谁走的路程短.

路程最短往往意味着所用时间最短，意味着能比别人更快.

一位将军非常懂得这个道理，他每天都要巡视两个军营A，B，他先巡视军营A，再到河边饮马，然后去巡视河岸同侧的军营B，为了节省时间，他想要走一条最短的路，怎样走才能使路程最短?这就是将军饮马问题，示意图如图所示.

模型解读

两定一动异侧型

模型概述

定点A，B位于直线l两侧，在直线l上找一点M，使得MA+MB的值最小

图示

作法

如图，连接AB，交直线l于点M，点M即为所求

原理

两点之间线段最短

两定一动同侧型

模型概述

定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点M，使得MA+MB的值最小

图示

作法

如图，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，交直线l于点M，点M即为所求

一定两动型

模型概述

定点P位于∠AOB内部，在射线OA上找一点M，在射线OB上找一点N，使得△PMN的周长最小

图示

作法

如图，①作点P关于OA所在直线的对称点P，作点P关于OB所在直线的对称点P;

②连接PP，交OA所在直线于点M，交OB所在直线于点N，点M，N即为所求

【概述】

0

①一个定点要对称两次；

②把两次对称后的对称点连接起来.

拓展结论

(C△PMN)min=2OPsin∠AOB

证明

由对称知PM=PM,PN=PN,

∴PM+MN+PN=PM+MN+PN≥PP,

∴当点P,M,N,P共线时,△PMN的周长最小,最小值为线段PP的长

前提知识

如图，作角内部一点关于角两边的对称点，所得到的结论：①OP=O

②△OPP为等腰三角形,且顶角.∠

两定两动型

模型概述

定点C，D位于∠AOB内部，在射线OA上找一点M，在射线OB上找一点N，使得四边形CDMN的周长最小

图示

作法

如图，①作点C关于OB所在直线的对称点C，作点D关于OA所在直线的对称点D;

②连接CD,交OA所在直线于点M,交OB所在直线于点N,点M,N即为所求

6【概述】

①把两个定点关于临近边作对称；

②把两个对称后的对称点连接起来.

证明

由对称性可知CN=CN,DM=DM,

∴CN+MN+DM=CN+MN+DM≥CD,

∴当C,N,M,D四点共线时,CN+MN+DM的值最小,

∵C,D为定点,∴CD的长度为定值.

∴四边形CDMN的周长的最小值为CD+CD

思维拓展

将线段CN标记为①，线段MN标记为②，线段MD标记为③，如图1，通过观察可以发现原来的三条线段均在射线0A，OB之间.

根据对称转化之后，发现等量的线段被转换到射线0A，OB划分的三个区域内，这样便于应用两点间距离公式，这是转化的核心思想.

模型拓展

三动点型

模型概述

分别在AB,AC,BC上找点D,E,F,使△DEF的周长最小

图示

作法

如图,过C作CD⊥AB,确定点D,再将点D视为定点,作点D关于AC,BC的对称点D,D,连接DD,分别交AC,BC于点E,F,点D,E,F即为所求

证明

如图，在AB上取一点D，将点D作为定点，作点D关于AC,BC的对称点D,D,连接DD,分别交AC,BC于点E,F,

由对称性可知DE=DE,DF=DF,

∴DE+EF+DF=DE+EF+DF≥DD,

∴当D,E,F,D四点共线时,△DEF的周长最小,最小值为线段DD的长.

连接CD,由对称性可知∠DCD=2∠ACB,CD=CD=CD,∴当线段CD的值最小,即当CD⊥AB时,线段DD的值最小，

∴当CD⊥AB,且D,E,F,D四点共线时,△DEF的周长最小

名师点拨

如图，既然三个点均为动点，所以将D点看作定点、将E点看作定点和将F点看作定点均可得出结论，若将E点看作定点，则需要作BE⊥AC，同理若将F点看作定点，则需要作AF⊥BC，这样就可得到该类模型的另一个结论：

作△ABC的三条高线，垂足分别为D，E，F，则可直接得到周长最小的△DEF.

例1如图1，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点.若AB=4,则AE+OEOE的最小值是()

A.42B.25+2C.2

答案:D

解析：如图2，作点A关于直线BC的对称点A，连接AO交BC于点E,再作OF⊥AB交AB于点F,此时AE+OE的值最小，最小值为OA的长，

利用将军饮马模

型先找到点E的

位置.

∵在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，

∴OF=FB=

∵A与A关于BC对称,

∴AB=B

∴F

在Rt△OFA中,O

例2如图1