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几何最值之将军饮马求和模型
模型典故
古语云:兵贵神速.谁都想要快人一步,大家速度差不多的情况下,就看谁走的路程短.
路程最短往往意味着所用时间最短,意味着能比别人更快.
一位将军非常懂得这个道理,他每天都要巡视两个军营A,B,他先巡视军营A,再到河边饮马,然后去巡视河岸同侧的军营B,为了节省时间,他想要走一条最短的路,怎样走才能使路程最短?这就是将军饮马问题,示意图如图所示.
模型解读
两定一动异侧型
模型概述
定点A,B位于直线l两侧,在直线l上找一点M,使得MA+MB的值最小
图示
作法
如图,连接AB,交直线l于点M,点M即为所求
原理
两点之间线段最短
两定一动同侧型
模型概述
定点A,B位于直线l同侧,在直线l上找一点M,使得MA+MB的值最小
图示
作法
如图,作点A关于直线l的对称点A,连接AB,交直线l于点M,点M即为所求
一定两动型
模型概述
定点P位于∠AOB内部,在射线OA上找一点M,在射线OB上找一点N,使得△PMN的周长最小
图示
作法
如图,①作点P关于OA所在直线的对称点P,作点P关于OB所在直线的对称点P;
②连接PP,交OA所在直线于点M,交OB所在直线于点N,点M,N即为所求
【概述】
0
①一个定点要对称两次;
②把两次对称后的对称点连接起来.
拓展结论
(C△PMN)min=2OPsin∠AOB
证明
由对称知PM=PM,PN=PN,
∴PM+MN+PN=PM+MN+PN≥PP,
∴当点P,M,N,P共线时,△PMN的周长最小,最小值为线段PP的长
前提知识
如图,作角内部一点关于角两边的对称点,所得到的结论:①OP=O
②△OPP为等腰三角形,且顶角.∠
两定两动型
模型概述
定点C,D位于∠AOB内部,在射线OA上找一点M,在射线OB上找一点N,使得四边形CDMN的周长最小
图示
作法
如图,①作点C关于OB所在直线的对称点C,作点D关于OA所在直线的对称点D;
②连接CD,交OA所在直线于点M,交OB所在直线于点N,点M,N即为所求
6【概述】
①把两个定点关于临近边作对称;
②把两个对称后的对称点连接起来.
证明
由对称性可知CN=CN,DM=DM,
∴CN+MN+DM=CN+MN+DM≥CD,
∴当C,N,M,D四点共线时,CN+MN+DM的值最小,
∵C,D为定点,∴CD的长度为定值.
∴四边形CDMN的周长的最小值为CD+CD
思维拓展
将线段CN标记为①,线段MN标记为②,线段MD标记为③,如图1,通过观察可以发现原来的三条线段均在射线0A,OB之间.
根据对称转化之后,发现等量的线段被转换到射线0A,OB划分的三个区域内,这样便于应用两点间距离公式,这是转化的核心思想.
模型拓展
三动点型
模型概述
分别在AB,AC,BC上找点D,E,F,使△DEF的周长最小
图示
作法
如图,过C作CD⊥AB,确定点D,再将点D视为定点,作点D关于AC,BC的对称点D,D,连接DD,分别交AC,BC于点E,F,点D,E,F即为所求
证明
如图,在AB上取一点D,将点D作为定点,作点D关于AC,BC的对称点D,D,连接DD,分别交AC,BC于点E,F,
由对称性可知DE=DE,DF=DF,
∴DE+EF+DF=DE+EF+DF≥DD,
∴当D,E,F,D四点共线时,△DEF的周长最小,最小值为线段DD的长.
连接CD,由对称性可知∠DCD=2∠ACB,CD=CD=CD,∴当线段CD的值最小,即当CD⊥AB时,线段DD的值最小,
∴当CD⊥AB,且D,E,F,D四点共线时,△DEF的周长最小
名师点拨
如图,既然三个点均为动点,所以将D点看作定点、将E点看作定点和将F点看作定点均可得出结论,若将E点看作定点,则需要作BE⊥AC,同理若将F点看作定点,则需要作AF⊥BC,这样就可得到该类模型的另一个结论:
作△ABC的三条高线,垂足分别为D,E,F,则可直接得到周长最小的△DEF.
例1如图1,正方形ABCD的对角线交于点O,点E是直线BC上一动点.若AB=4,则AE+OEOE的最小值是()
A.42B.25+2C.2
答案:D
解析:如图2,作点A关于直线BC的对称点A,连接AO交BC于点E,再作OF⊥AB交AB于点F,此时AE+OE的值最小,最小值为OA的长,
利用将军饮马模
型先找到点E的
位置.
∵在正方形ABCD中,点O为对角线的交点,
∴OF=FB=
∵A与A关于BC对称,
∴AB=B
∴F
在Rt△OFA中,O
例2如图1
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