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山东省青岛市四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.设全集,集合,,则()
A. B. C. D.
2.存在函数满足:对任意都有()
A. B.
C. D.
3.已知是奇函数,则()
A.2 B.-1 C.1 D.-2
4.已知,,,则a,b,c的大小关系是()
A. B. C. D.
5.下列命题为真命题的是()
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
6.函数的部分图象大致为()
A. B.
C. D.
7.已知函数在上单调递增,则a的取值范围是()
A. B. C. D.
8.定义表示不超过x的最大整数.例如:,,则()
A. B.,
C.是偶函数 D.是增函数
二、多项选择题
9.已知是定义在R上的偶函数,是定义在R上的奇函数,且,在单调递减,则()
A. B.
C. D.
10.已知,,且,则()
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为R,且,,为偶函数,则()
A. B.为偶函数
C. D.
三、填空题
12.已知函数的定义域为则的定义域为_________.
13.已知函数,若,则实数a的取值范围为______________.
14.设,函数.若恰有两个零点,则a的取值范围为__________.
四、解答题
15.求值:
(1);
(2).
16.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园,如图所示,用墙的一部分做下底,用篱笆做两腰及上底,且腰与墙成,当等腰梯形的腰长为多少时,所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.
17.已知集合,其中是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)若,求出实数m的值;
(2)若,求实数m的取值范围.
18.已知函数是偶函数.
(1)求a的值;
(2)设,,若对任意的,存在,使得,求m的取值范围.
19.离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合,若,,记为除以p的余数,为除以p的余数;设,1,a,,…,两两不同,若,则称n是以a为底b的离散对数,记为.
(1)若,,求;
(2)对,记为除以的余数(当能被整除时,).证明:,其中;
(3)已知.对,,令,.证明:.
参考答案
1.答案:B
解析:依题意,全集,则,,
得,,所以.
故选:B.
2.答案:D
解析:对于A:函数的定义域为,故A错误;
对于B:令,解得或,所以的值不唯一,故B错误;
对于C:令,解得或,所以的值不唯一,故C错误;
对于D:,
令,则,
所以,故D正确;
故选:D
3.答案:A
解析:因为函数是奇函数,所以满足,
即,化简为,得,,
此时,函数的定义域为,成立.
故选:A
4.答案:B
解析:由题意得,,,
易知,,
故,则,可得,故B正确.
故选:B.
5.答案:B
解析:对于A:当时,显然不成立,故A错误;
对于B:因为,所以,故B正确;
对于C:因为,所以,故C错误;
对于D:因为,所以,故D错误.
故选:B.
6.答案:C
解析:由题意可得:的定义域为R,
因为,
所以为奇函数,排除B,D.
当时,则,,可得,
所以,排除A.
故选:C.
7.答案:D
解析:由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选:D.
8.答案:B
解析:A选项,取,,则,,显然,所以A不正确;
B选项,设表示不超过的最大整数,所以,
所以,所以,所以,即,
所以,所以,故B正确;
C选项,,因为,
所以,所以不是偶函数,故C错误;
D选项,所以,所以不是增函数,故D错误.
故选:B.
9.答案:BD
解析:因为是定义在R上的偶函数,是定义在R上的奇函数,且两函数在上单调递减,
所以在上单调递增,在上单调递减,在R上单调递减,
所以,,
所以,,,
所以BD正确,C错误;
若,则,A错误.
故选:BD.
10.答案:ABD
解析:对于A,,
当且仅当时,等号成立,故A正确;
对于B,,所以,故B正确;
对于C,,
当且仅当时,等号成立,故C不正确;
对于D,因为,
所以,当且仅当时,等号成立,故D正确;
故选:ABD.
11.答案:ACD
解析:对于A,因为,
令,则,故,则,故A正确;
对于B,因为的定义域为R,关于原点对称,
令,则,又不恒为0,故,
所以为奇函数,故B错误;
对于C,因为为偶函数,所以,
令,则,故,
令,则,故,
又为奇函数,故,
所以,即,故C正确;
对于D,由选项C可知,
所以,故的一个周期为6,
因为,所以,
对于,
令,得,则,
令,得,则,
令,得,
令,得,
令,得,
所以,
又,
所以由的周
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