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第三章圆锥曲线的方程知识归纳与题型突破(题型清单)
01思维导图
01思维导图
02
02知识速记
知识点01:椭圆的定义
1、椭圆的定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,
这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点(,)叫椭圆的焦点,两焦点的距离()叫作椭圆的焦距.
2、定义的集合语言表述
集合.
知识点02:椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
()
()
范围
,
,
顶点
,,
,
轴长
短轴长=,长轴长=
焦点
焦距
对称性
对称轴:轴、轴对称中心:原点
离心率
,
知识点03:双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
知识点04:双曲线的简单几何性质
标准方程
()
()
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标
,
,
渐近线
离心率
,,
,,间的关系
知识点05:抛物线的定义
1、抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.
2、抛物线的数学表达式:(为点到准线的距离).
知识点06:抛物线的简单几何性质
标准方程
()
()
()
()
图形
范围
,
,
,
,
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
03
03题型归纳
题型一椭圆、双曲线、抛物线定义问题
例题1.(23-24高二上·安徽芜湖·期末)已知、,若,则点的轨迹方程是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义求出、,即可求出,从而得到椭圆方程.
【详解】因为、且,
由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,
且、,解得,,
所以点的轨迹方程是.
故选:B
例题2.(23-24高二上·广西玉林·期末)已知点,则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据题意,结合双曲线的定义,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,由,根据双曲线的定义,可得点的轨迹是完整的双曲线,所以A不正确;
对于B中,由,根据双曲线的定义,可得的点的轨迹是双曲线的下支,所以B正确;
对于C中,由,根据双曲线的定义,可得的点的轨迹是双曲线的上支,所以C不正确;
对于D中,由,不存在满足的点,所以D不正确.
故选:B.
例题3.(23-24高二下·江苏南京·期末)已知抛物线上一点的纵坐标为4,则点到抛物线焦点的距离为(???)
A. B.5 C.6 D.
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义,将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得.
【详解】依题意,由抛物线的定义知,点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离,
即.
故选:B.
巩固训练
1.(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设为抛物线的焦点,若点在上,则(????)
A.3 B. C. D.
【答案】D
【分析】利用点在抛物线上,得到抛物线的标准方程,确定准线方程,利用抛物线的定义,.
【详解】依题意,,解得,所以的准线为,所以,
故选:D.
2.(多选)(23-24高三上·河北·期末)圆O的半径为定长r,M是圆O所在平面内一个定点(点M与点O不重合),P是圆O上任意一点,线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时(????)
A.若点M在圆内,则点Q的轨迹是椭圆
B.若点M在圆外,则点Q的轨迹是双曲线
C.若点M在圆内,则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D.若点M在圆外,则点Q的轨迹是双曲线的一支
【答案】AB
【分析】利用椭圆和双曲线定义求解.
【详解】当点在圆内且不与点重合时,由图可知:,
??
又,由椭圆的定义可得:点的轨迹是以点、为焦点的椭圆,
即点的轨迹是椭圆;
当点在圆外时,由图可知:,
??
又,
由双曲线的定义可得:点的轨迹是以点、为焦点的双曲线,即点的轨迹是双曲线,
故选:AB
3.(2024高三下·全国·专题练习)已知动圆与圆内切,与圆外切,记圆心的轨迹为曲线.求曲线的方程.
【答案】
【分析】根据动圆与圆内切,与圆外切,列出等式,根据椭圆定义得到圆心的轨迹的方程.
【详解】由题意可知,动圆与圆内切,与圆外切,
设圆的半径为,
则,
所以,
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,
设点的轨迹方程,
所以,则,
点的轨迹方程为.
??
题型二椭圆、双曲线、抛物线上点到焦点和定点距离和,差最值问题
例题1.(23-24高二下·湖北·期末)设为椭圆上一动点,分别为椭
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