第三章 圆锥曲线的方程（单元复习，13类题型清单）（解析版）-【单元速记】2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

第三章圆锥曲线的方程知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

知识点01：椭圆的定义

1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，

这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

2、定义的集合语言表述

集合.

知识点02：椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

（）

（）

范围

，

，

顶点

，，

，

轴长

短轴长＝，长轴长＝

焦点

焦距

对称性

对称轴：轴、轴对称中心：原点

离心率

，

知识点03：双曲线的定义

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

知识点04：双曲线的简单几何性质

标准方程

（）

（）

图形

性质

范围

或

或

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标

，

,

渐近线

离心率

，，

，，间的关系

知识点05：抛物线的定义

1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).

知识点06：抛物线的简单几何性质

标准方程

（）

（）

（）

（）

图形

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

轴

轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径长

03

03题型归纳

题型一椭圆、双曲线、抛物线定义问题

例题1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知、，若，则点的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义求出、，即可求出，从而得到椭圆方程.

【详解】因为、且，

由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，

且、，解得，，

所以点的轨迹方程是.

故选：B

例题2．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确；

对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确；

对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确；

对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确.

故选：B.

例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（???）

A． B．5 C．6 D．

【答案】B

【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得.

【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离，

即.

故选：B.

巩固训练

1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为抛物线的焦点，若点在上，则（????）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用点在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，.

【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以，

故选:D．

2．（多选）（23-24高三上·河北·期末）圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（????）

A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆

B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线

C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分

D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支

【答案】AB

【分析】利用椭圆和双曲线定义求解.

【详解】当点在圆内且不与点重合时，由图可知：，

??

又，由椭圆的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，

即点的轨迹是椭圆；

当点在圆外时，由图可知：，

??

又，

由双曲线的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，即点的轨迹是双曲线，

故选：AB

3．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程．

【答案】

【分析】根据动圆与圆内切，与圆外切，列出等式，根据椭圆定义得到圆心的轨迹的方程.

【详解】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，

设圆的半径为，

则，

所以，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，

设点的轨迹方程，

所以，则，

点的轨迹方程为．

??

题型二椭圆、双曲线、抛物线上点到焦点和定点距离和，差最值问题

例题1．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭