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;最新考纲;第六节;1.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或或)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为
.
2.几何概型的基本特点
(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有;
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性.
;
3.计算公式
P(A)=;疑难剖析;(2)古典概型中,随机事件A的概率满足0P(A)1;而在几何概型中,随机事件A的概率满足0≤P(A)≤1.
(3)古典概型中,概率为0的事件一定是不可能事件,概率为1的事件一定是必然事件;而在几何概型中,未必如此.
(4)古典概型中,满足P(A∪B)=P(A)+P(B)的两事件必互斥;而在几何概型中,结论不一定成立.
;自主测评;解析:(1)错误.虽然环境相同,但是因为随机模拟得到的是某一次的频率,所以结果不一定相等.
(2)错误.由几何概型的定义知,还需保证该区域中的每一点被取到的机会相等.
(3)正确.由几何概型的定义知,该说法正确.
(4)错误.奥运会的射击选手射击时,更靠近靶心一些,因此,射中靶子上每一点的概率不相等.
;2.(2014·重庆期中)在[-2,3]上随机取一个数x,则(x+1)·(x-3)≤0的概率为()
;3.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是()
;4.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.;
题型1·与长度、角度有关的几何概型
;
点评:本题主要借助圆的知识、不等式的知识考查了几何概型,测度的正确选择是关键.
;迁移发散1.(1)如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为________;
;规范解答:(1)如题图,∵射线OA在坐标系内是等可能分布的,则OA落
在∠yOT内的概率为
(2)由题意知m0,当0m2时,-m≤x≤m,此时所求概率为
得m=,(舍去);当2≤m4时,所求概率为
,得m=3;当m≥4时,概率为1,不合题意,故
m=3.;
题型2·与面积、体积有关的几何概型
;
规范解答:(1)易知本题满足几何概型的概率特点,矩形ABCD的面积为2,有信号区域的面积为扇形CBF与扇形ADE的面积都为
,故无信号区域的面积为2-,利用几何概型的概率公式可知:
故选A
(2)圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π,以O为球心,1为半径且在
圆柱内部的半球的体积;则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为
故点P到点O的距离大于1的概率为
;2.当考查对象为点并等可能分布在三维区域内,应选择体积作为区域的测度.这类问题解决的关键是用立体几何的知识找出事件对应的几何体,其概率的计算公式为:
;
题型3·几何概型与线性规划的综合应用
;根据几何概型可知,所求概率为上述两平面区域的面积之比,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影部分面积)
为12平方单位,故概率为故选C.;混淆几何概型与古典概型
;批注1:根据a,b的取值确定此问为古典概型问题.
?
批注2:根据a,b的取值确定此问为几何概型问题.;迁移发散:(2013·铜陵月考)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
(1)求点P落在区域C:x2+y2≤10内的概率;
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域M上的概率.
;备课优选;点评:本题考查了体积型几何概型问题,解题的关键是求得事件所占体积
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