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极限的练习题
一、基础题
1.计算下列极限:
(1)lim(x→0)(sinx/x)
(2)lim(x→1)(1cosx)/x^2
(3)lim(x→π)(sinx/(xπ))
(4)lim(x→∞)(1+1/x)^x
2.证明极限:
(1)lim(x→0)(e^x1)/x=1
(2)lim(x→0)(ln(1+x)/x)=1
二、函数极限题
1.计算下列函数极限:
(1)lim(x→0)(x^2sin^2x)/x^4
(2)lim(x→1)(x^31)/(x1)
(3)lim(x→∞)(xlnx)
2.讨论下列函数极限的存在性:
(1)lim(x→0)(sin1/x)
(2)lim(x→∞)(sinx)
三、无穷小比较题
1.判断下列无穷小之间的关系:
(1)sinx与x在x→0时的比较
(2)1cosx与x^2在x→0时的比较
(3)e^x1与x在x→0时的比较
2.证明下列无穷小比较:
(1)当x→0时,x^2是比sinx高阶的无穷小
(2)当x→1时,(1cosx)是比(x1)^2低阶的无穷小
四、极限应用题
1.计算下列极限,并解释其几何意义:
(1)lim(x→0)(x/tanx)
(2)lim(θ→π/2)(sinθ/(π/2θ))
2.设函数f(x)=x^22x+1,求lim(x→1)f(x)。
五、综合题
1.计算下列极限:
(1)lim(x→0)(sin3x/sin5x)
(2)lim(x→∞)(x^2+2x+1)/(x^23x+2)
2.设函数f(x)=(x^21)/(x1),求lim(x→1)f(x)。
六、极限求值题
(1)lim(x→2)(x^38)/(x^24)
(2)lim(x→0)(x^3sin^3x)/x^5
(3)lim(x→1)(1x^2)/(1x)
(4)lim(x→∞)(3x^22x+1)/(4x^2+5)
(1)lim(x→0)(e^(2x)1)/(e^x1)
(2)lim(x→π/2)(tanx/(xπ/2))
七、极限证明题
(1)lim(x→0)(cosx1+x^2/2)/x^4=1/24
(2)lim(x→∞)(lnx/x)=0
(1)lim(x→0)(1/x)
(2)lim(x→1)(sin(π/(x1)))
八、无穷小与无穷大题
(1)lim(x→∞)(1/x)
(2)lim(x→0)(1/sinx)
(3)lim(x→∞)(e^x)
(1)x^2与sinx在x→0时
(2)(1cosx)与x^3在x→0时
九、分段函数极限题
(1)lim(x→0)[x^2sin(1/x)],其中sin(1/x)当x=0时未定义
(2)lim(x→1)[(x^21)/|x1|]
(1)lim(x→0)[x^2sin(1/x^2)]
(2)lim(x→0)[x^2/sin(1/x)]
十、实际应用题
1.一物体从静止开始做直线运动,其加速度a(t)=4t2t^2,求物体在t→∞时的极限速度。
2.一个圆柱体,其体积V与半径r和高度h的关系为V=πr^2h。当半径r固定时,求h→∞时,体积V的极限。
答案
一、基础题
1.(1)1
(2)1
(3)1
(4)e
2.(1)由泰勒展开式e^x=1+x+x^2/2!+,可知(e^x1)/x的极限为1。
(2)由泰勒展开式ln(1+x)=xx^2/2+x^3/3,可知(ln(1+x)/x)的极限为1。
二、函数极限题
1.(1)1/3
(2)3
(3)∞
2.(1)不存在,因为sin(1/x)在x→0时的振荡无极限。
(2)不存在,因为sinx在x→∞时振荡,不趋于一个
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