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极限的练习题

一、基础题

1.计算下列极限：

(1)lim(x→0)(sinx/x)

(2)lim(x→1)(1cosx)/x^2

(3)lim(x→π)(sinx/(xπ))

(4)lim(x→∞)(1+1/x)^x

2.证明极限：

(1)lim(x→0)(e^x1)/x=1

(2)lim(x→0)(ln(1+x)/x)=1

二、函数极限题

1.计算下列函数极限：

(1)lim(x→0)(x^2sin^2x)/x^4

(2)lim(x→1)(x^31)/(x1)

(3)lim(x→∞)(xlnx)

2.讨论下列函数极限的存在性：

(1)lim(x→0)(sin1/x)

(2)lim(x→∞)(sinx)

三、无穷小比较题

1.判断下列无穷小之间的关系：

(1)sinx与x在x→0时的比较

(2)1cosx与x^2在x→0时的比较

(3)e^x1与x在x→0时的比较

2.证明下列无穷小比较：

(1)当x→0时，x^2是比sinx高阶的无穷小

(2)当x→1时，(1cosx)是比(x1)^2低阶的无穷小

四、极限应用题

1.计算下列极限，并解释其几何意义：

(1)lim(x→0)(x/tanx)

(2)lim(θ→π/2)(sinθ/(π/2θ))

2.设函数f(x)=x^22x+1，求lim(x→1)f(x)。

五、综合题

1.计算下列极限：

(1)lim(x→0)(sin3x/sin5x)

(2)lim(x→∞)(x^2+2x+1)/(x^23x+2)

2.设函数f(x)=(x^21)/(x1)，求lim(x→1)f(x)。

六、极限求值题

(1)lim(x→2)(x^38)/(x^24)

(2)lim(x→0)(x^3sin^3x)/x^5

(3)lim(x→1)(1x^2)/(1x)

(4)lim(x→∞)(3x^22x+1)/(4x^2+5)

(1)lim(x→0)(e^(2x)1)/(e^x1)

(2)lim(x→π/2)(tanx/(xπ/2))

七、极限证明题

(1)lim(x→0)(cosx1+x^2/2)/x^4=1/24

(2)lim(x→∞)(lnx/x)=0

(1)lim(x→0)(1/x)

(2)lim(x→1)(sin(π/(x1)))

八、无穷小与无穷大题

(1)lim(x→∞)(1/x)

(2)lim(x→0)(1/sinx)

(3)lim(x→∞)(e^x)

(1)x^2与sinx在x→0时

(2)(1cosx)与x^3在x→0时

九、分段函数极限题

(1)lim(x→0)[x^2sin(1/x)]，其中sin(1/x)当x=0时未定义

(2)lim(x→1)[(x^21)/|x1|]

(1)lim(x→0)[x^2sin(1/x^2)]

(2)lim(x→0)[x^2/sin(1/x)]

十、实际应用题

1.一物体从静止开始做直线运动，其加速度a(t)=4t2t^2，求物体在t→∞时的极限速度。

2.一个圆柱体，其体积V与半径r和高度h的关系为V=πr^2h。当半径r固定时，求h→∞时，体积V的极限。

答案

一、基础题

1.(1)1

(2)1

(3)1

(4)e

2.(1)由泰勒展开式e^x=1+x+x^2/2!+，可知(e^x1)/x的极限为1。

(2)由泰勒展开式ln(1+x)=xx^2/2+x^3/3，可知(ln(1+x)/x)的极限为1。

二、函数极限题

1.(1)1/3

(2)3

(3)∞

2.(1)不存在，因为sin(1/x)在x→0时的振荡无极限。

(2)不存在，因为sinx在x→∞时振荡，不趋于一个