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2023-2024学年高二数学第一次月考试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知空间的直线,m,n和平面,,,下列命题正确的是()
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
【答案】C
【详解】
选项A中,当,时,与有可能相交、平行、异面,所以A错误;
选项B中,当,时,平面,有可能相交,所以B错误;
选项C中,当,时,由线面垂直的性质可知,所以C正确.
选项D中,当,时,与有可能相交、异面,所以D不正确;
故选:C.
2.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()
A.4B. C. D.
【答案】D
【详解】因为两直线平行,
所以,解得m=2,将6x+2y+1=0化为3x+y+=0,
由两条平行线间的距离公式得d==,故选:D.
3.设双曲线与椭圆:有公共焦点,.若双曲线经过点,设为双曲线与椭圆的一个交点,则的余弦值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题得,双曲线中,所以,双曲线方程为:,假设在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义可得:,解得:,,所以根据余弦定理,
故选:A
4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CC1,P是A1C1的中点,则异面直线BC与AP所成角的余弦值为()
A.0B.C. D.
4.D【详解】如图,
取的中点Q,连接.
因为,所以即异面直线与所成的角或其补角.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
设,则,
在三角形APQ中,由余弦定理得:.
故选:D
5.已知椭圆,,分别为椭圆的左?右顶点,若在椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围为()
A. B. C. D.
5.A【详解】由题意,椭圆,可得,,
设,代入椭圆的方程,可得,
则,
即,即.
又因为,所以.
故选:A.
6.在中,,,,点在该三角形的内切圆上运动,当最大时,则的值为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】在中,因为,,,所以,所以为直角三角形,其中.
以B为原点,分别为轴正方向建立直角坐标系,则,,.
所以直线.
设的内切圆.
因为点在该三角形的内切圆上运动,所以.
,(当且仅当时等号成立)
此时.
所以,而,
所以.
故选:A
7.如图,内角所对的边分别为,且,延长至,是是以为底边的等腰三角形,,当时,边()
A.B.C.D.
【解析】:已知且,则由余弦定理代入,
化简得:,又由
,所以∠,∠,∠,
根据等腰三角形的性质,设,所以有整理得
故,故选A.
8.在直角坐标系xOy中,F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C:的左、右焦点,位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点,△PF1F2的外心M的坐标为,△PF1F2的面积为2a2,则双曲线C的渐近线方程为()
A.y=±x B.y=x C.y=x D.y=±x
8.D【详解】
由△PF1F2的外心M,知:,
∴在△中,,即,故∠F1PF2=,
在△中,,而,
∴,即,
∴,而,
∴由题意知:,故双曲线的渐近线方程为:.
故选:D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若双曲线:与圆:有4个交点,则的渐近线方程可能为()
A. B. C. D.
【答案】ABD【详解】
因双曲线:与圆:有4个交点,
则有双曲线的顶点在圆内,于是有,从而得,
而双曲线的渐近线方程为,
所以双曲线的渐近线方程可能为A,B,D,不可能为C.
故选:ABD
10.已知圆C:,直线l:.下列说法正确的是()
A.直线l恒过定点
B.圆C被y轴截得的弦长为
C.直线l被圆C截得弦长存在最大值,此时直线l的方程为
D.直线l被圆C截得弦长存在最小值,此时直线l的方程为
10.BD【详解】
将直线l的方程整理为,由,解得.则无论m为何值,直线l恒过定点,故A不正确;
令,则,解得,故圆C被y轴截得的弦长为,故B正确;
无论m为何值,直线l不过圆心,即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值,故C错误;
当截得的弦长最短时,此时直线l垂直于圆心与定点的连线,则直线l的斜率为,此时直线l的方程为,即,故D正确.
故选:BD.
11.已知正方体的棱长为,下列四个结论中正确的是()
A.直线与直线所成的角为
B.直线与平面所成角的余弦值为
C.平面
D.点到平面的距离为
.
【详解】
如图以为原点,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
对于A:,,
因为,所以,即,直线与直线所成的角为,故选项A正确;
对于C:因为,,
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