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大学数学的思想方法和教学

数学是一门工具性很强的学科，与其他学科相比具有较高的抽象

性。为此怎样将抽象的知识传授给学生，在数学教学中显得尤为重要。

本文通过多年的工作经验与课堂实践，从思想与方法出发，增加实际

应用的内容，提高学生的数学素养和创新能力，使学生适应新世纪对

数学人才的要求。

二、数学思想的含义

所谓数学思想是指，现实的空间形式和数量关系反映到人的意识，

经过思维活动而产生的结果。它将数学知识系统化、理论化，指导人

们在数学活动中确立正确的观念。数学思想有很多，下面仅介绍三种。

（一）转化的思想

转化的思想是将复杂的转化成简单的，将不熟悉的转化成熟悉的。

例如在高阶矩阵计算中，矩阵分块就是一种实用的转化思想。

例1：设D=■，A、B分别为k、r阶可逆矩阵，C为r×k矩阵，

0是k×r零阵，求D-1。

解：因为D=AB，A，B可逆，则D也可逆。设D-1=■，X1、X4

分别为k、r阶方阵，因为

DD-1=■■=■=■，

Ik、Ir分别为k、r阶单位阵，根据分块相等的运算，得X1=A-1，

X2=0，X3=-B-1CA-1，X4=B-1。因此D-1=A-10-B-1CA-1B-1。

（二）数形结合的思想

在大学数学教学中，面对抽象的数学知识，我们要努力将其具体

化。数形结合的思想就是一个很好的桥梁。例如在解决三维几何向量

空间中点的坐标变换问题时，就可以运用这种思想。

例2：{O“；e“1，，，，与{O；e1，e2，e3}是新、旧两个坐标

系（如图1）。点P的新、的新、旧坐标分别旧坐标分别为为（（，，，，）T与（x，y，

z）T，问新旧坐标之间有何联系。■

图1

解：设解：设点在{O；e1，e2，e3}下的坐标是（x0，y0，z0）T，即

■=x0e1+y0e2+z0e3=（e1，e2，e3）x0y0z0，若（，若（，，，，）

=（e1，e2，e3）A，则■=■+■，即

（e1，e2，e3）xyz=（e1，e2，e3）x0y0z0+（（，，，，））

=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e1，e2，e3））

=（e1，e2，e3））

由坐标的唯一性可知，由坐标的唯一性可知，。

（三）数学的辩证思想

数学的知识内容本身具有辩证性，这种辩证性主要是通过数学中

的相互对立统一的矛盾体现出来的。正式由于这种辩证性，在教学过

程中辩证思想也非常重要。例如在工科数学分析中，有些定理的证明，

就运用了辩证的思想。

例3：定理1设■f（x）=A，■g（x）=B。

（i）若Ab，则有δ0，使得当0x-x0δ时，恒

有f（x）g（x）；/g（x）；/δ时，恒有f（x）/x-

x0/b，则有δ

（ii）若有δ0，使得当0x-x0δ时，恒有f（x）≤g（x），

则必有a≤b。/δ时，恒有f（x）≤g（x），则必有a≤b。/x-

x0

证明：（i）对ε=■0，由于■f（x）=A，存在δ10，使得当0x-

x0δ1时，恒有f（x）-a■，即/δ1时，恒有f（x）

-a/x-x0

■f（x）■。（1）/f（x）

而由■g（x）=B，存在δ20，使得当0x-x0