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高等数学导数与微分第2章导数与微分主要内容一、导数的概念二、求导法则三、函数的微分四、中值定理、罗彼塔法则五、利用导数研究函数的性态一、导数的概念4、函数可导与连续的关系二、求导法则1、函数四则运算的求导法则2、复合函数的求导法则3、反函数的求导法则同理可得:4、对数求导法续例165、隐函数求导法6、由参数方程所确定的函数的求导法8、高阶导数三、函数的微分2、微分与导数的关系4、微分的基本公式和运算法则1)基本函数的微分公式2)和、差、积、商运算法则1.罗尔定理证明:(续)几何解释例282.拉格朗日中值定理几何解释例29定理2.6(柯西中值定理)综上所述:(二)罗彼塔法则1、证明例30例31例33例34例35例36五、利用导数研究函数的性态(一)函数的单调性反之,定理2.8如:例37小结讨论函数单调性的步骤:解例38例38(二)函数极值、最值定义2.4这样★理解依定义其中,定理2.9凹的有关拐点的讨论:例45例46例48146定理2.12曲线的凹凸性的判定方法:146解:例43146一般地,判定函数凹凸性的步骤:(1)求定义域;(2)求二阶导并令其为0,求其根;(3)以根为分界点分区间判定。146例44解:连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。146则有如下定理:146▲理解146146例36解146解146A.求函数的定义域,找出无定义的点;B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间;D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法)146练习:146分析:146证明这是一种非常典型的题目,须掌握其方法.1461、极值146146146A.极值是一个局部概念,是函数局部范围内的最值,而不是区间或定义域内的最值;B.极值不一定唯一;C.对于极值点,仅有定义即可,不必连续或可导.故极值点可能是间断点,不可导点,或导数为零的点,但不可能为端点.(如图)146导数为零的点称为函数的驻点.此外,从图中还可以看出:在函数取得极值的点处,若有切线(可导)的话,该切线是水平的;但是,有水平切线的点未必是极值点,这就有:146证明146那么如何判断某点是否取得极值呢?146146146146★注意若二阶导不存在,或为零,或计算太复杂时,则用第一充分条件或定义判定。146根据上述介绍,求函数极值的步骤为:146例41求函数的极值。待续146不是极值点,所以取极小值,所以不是极值点,所以续例41146方法:2、最值146解:146在实际应用中,若函数在区间(开,闭,半开半闭)上可导且只有一个驻点,并且在该点处函数取得极值,则该极值便是最值;若是极大值则为最大值,若是极小值,则为最小值。146146146可见:(三)曲线的凹凸性146定义2.5:146凹的凸的146凸的1461461463)复合函数微分法则但:因为:于是:所以:若为自变量的复合函数:146例24设解:146例25设解法一:解法二:先求导,再写出微分表达式146即:4)微分在近似求值中的应用146解:例27146四、中值定理、罗彼塔法则(一)中值定理146(待续)146146146解146146(如图)从上图可知:罗尔定理是该定理特例。146推论1推论2若,有则146证明分析146引入:3、柯西中值定理146其实:拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.146三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例,而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例,但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此,在应用中拉格朗日中值定理更为广泛.146如:146定理2.7称此求函数极限的法则为罗彼塔法则.146146更进一步地:解146解例32解146如:1462、未定式的极限146解146解146解注意:在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极
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