第2章导数与微分.ppt

高等数学导数与微分第2章导数与微分主要内容一、导数的概念二、求导法则三、函数的微分四、中值定理、罗彼塔法则五、利用导数研究函数的性态一、导数的概念4、函数可导与连续的关系二、求导法则1、函数四则运算的求导法则2、复合函数的求导法则3、反函数的求导法则同理可得：4、对数求导法续例165、隐函数求导法6、由参数方程所确定的函数的求导法8、高阶导数三、函数的微分2、微分与导数的关系4、微分的基本公式和运算法则1）基本函数的微分公式2）和、差、积、商运算法则1.罗尔定理证明：（续）几何解释例282.拉格朗日中值定理几何解释例29定理2.6(柯西中值定理)综上所述：（二）罗彼塔法则1、证明例30例31例33例34例35例36五、利用导数研究函数的性态（一）函数的单调性反之，定理2.8如：例37小结讨论函数单调性的步骤：解例38例38(二）函数极值、最值定义2.4这样★理解依定义其中，定理2.9凹的有关拐点的讨论：例45例46例48146定理2.12曲线的凹凸性的判定方法：146解：例43146一般地，判定函数凹凸性的步骤：（1）求定义域；（2）求二阶导并令其为0，求其根；（3）以根为分界点分区间判定。146例44解：连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。146则有如下定理：146▲理解146146例36解146解146A.求函数的定义域,找出无定义的点;B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间;D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法)146练习:146分析：146证明这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.1461、极值146146146A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值；B.极值不一定唯一；C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可导．故极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点．（如图）146导数为零的点称为函数的驻点.此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有：146证明146那么如何判断某点是否取得极值呢？146146146146★注意若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定。146根据上述介绍，求函数极值的步骤为：146例41求函数的极值。待续146不是极值点，所以取极小值，所以不是极值点，所以续例41146方法：2、最值146解：146在实际应用中，若函数在区间（开，闭，半开半闭）上可导且只有一个驻点，并且在该点处函数取得极值，则该极值便是最值；若是极大值则为最大值，若是极小值，则为最小值。146146146可见：（三）曲线的凹凸性146定义2.5：146凹的凸的146凸的1461461463）复合函数微分法则但：因为：于是：所以：若为自变量的复合函数：146例24设解：146例25设解法一：解法二：先求导，再写出微分表达式146即：4）微分在近似求值中的应用146解：例27146四、中值定理、罗彼塔法则（一）中值定理146（待续）146146146解146146(如图)从上图可知:罗尔定理是该定理特例。146推论1推论2若，有则146证明分析146引入：3、柯西中值定理146其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.146三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛．146如：146定理2.7称此求函数极限的法则为罗彼塔法则．146146更进一步地:解146解例32解146如:1462、未定式的极限146解146解146解注意：在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极