第二章：2.5函数的微分.ppt

机动目录上页下页返回结束二、可微性与可导性的关系三、微分的几何意义第五节一、微分的概念函数的微分第二章四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则五、微分在近似计算中的应用一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为S,则关于△x的线性主部高阶无穷小时为故面积的增量为称为函数S=x2在x0处的微分当x在取得增量时,变到边长由其在点x0处相应于自变量△x的微分,定义:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,其中A与△x无关,则称函数y=f(x)在点x0处可微,而A△x称为函数y=f(x)记作dy,即若自变量在点x0处取得增量△x时,如果函数的增量可表示为o(△x)是比△x高阶的无穷小,由此可见,函数的微分与增量仅相差一个比△x高阶的因dy=A△x是△x的线性函数,故当A≠0时,也说无穷小,微分dy是增量△y的线性主部.(1)二、可微性与可导性的关系定理:函数在点可微的充要条件是即函数(1)这时(1)式中的A等于证:“必要性”已知在点可微,则由定义有故在点处可导,且即“充分性”已知在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是即函数这时(1)式中的A等于由微分的定义知f(x)在x0处可微.很小且当由上面的讨论可知,时,有其中若函数y=f(x)在某区间内每一点都可微,则称函数函数y=f(x)在区间内任一点的即特别地,若y=x,则dy=dx即也就是说自变量的微分等于自变量的增量.因此近似公式y=f(x)在此区间内可微,微分记作dy或df(x),由因此,导数也叫作微商哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.得到例1.设函数解:(1)(1)求函数的微分;(2)求函数在x=3处的微分;(3)求函数在x=3处,当△x=0.01时的微分和增量.(2)(3)从例1可看出二、微分的几何意义切线纵坐标的增量微分的几何意义因此,当△x→0时,△y与dy之差MT趋近于零,且故在x0的充分小邻域内可用切线段来近似代替曲线段,这就是通常所说的“以直代曲”.四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分的基本公式与导数的基本公式相似1、基本初等函数的微分公式2、微分的四则运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则则复合函数设例2.求解:方法一方法二由微分的运算法则例3.解:(1)(1)利用微分与导数的关系式设求dy.(2)利用一阶微分形式的不变性求dy.(2)由一阶微分形式的不变性得例3.(1)利用微分与导数的关系式设求dy.(2)利用一阶微分形式的不变性求dy.例4.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.例如五、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令则(x的单位为弧度)下面只证第(5)个公式,其他几个公式可类似证明.而当很小时,即的近似值.解:设取则例5.求的近似值.解:例6.计算例7.要制造内棱为10cm,厚度为0.05cm的立方体盒子,解:边长为a的立方体的体积V＝a3,故所需材料的体积估计需要多少体积的材料?应为即因此,大约需要30cm3的材料.内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用:近似计算思考与练习1.作业P101：第2题（1）（3）（5）（7）第3题（1）（3）1.已知求解：因为所以备用题*运行时,点击“注意----”或“注意”按钮,可显示反问题的例,运行完后自动返回机动目录上页下页返回结束*运行时,点击“注