2025届高考数学一轮复习专练14 函数的零点与方程的解、二分法.docx

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十四函数的零点与方程的解、二分法

(时间:45分钟分值:95分)

【基础落实练】

1.(5分)已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log

A.12,0 B.

C.12 D.

【解析】选D.当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;

当x1时,令f(x)=1+log2x=0,

解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解

综上,函数f(x)的零点只有0.

2.(5分)函数f(x)=x3-(12)x-2的零点所在的区间为 (

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

【解析】选B.由题意知,f(x)=x3-(12)x-2

f(0)=-4,f(1)=-1,f(2)=7,

因为f(x)在R上连续且在R上单调递增,

且f(1)·f(2)0,

所以f(x)在(1,2)内有唯一零点.

3.(5分)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)0,f(0.5)0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为 ()

A.(0,0.5),f(0.125)

B.(0,0.5),f(0.375)

C.(0.5,1),f(0.75)

D.(0,0.5),f(0.25)

【解析】选D.因为f(0)f(0.5)0,

由函数零点存在定理知,零点x0∈(0,0.5),

根据二分法,第二次应计算f(0+0.5

即f(0.25).

4.(5分)函数f(x)=x2-2x

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选C.当x≤0时,令f(x)=x2-2x-3=0,

得x=-1(x=3舍去),

当x0时,令f(x)=0,得log2x=3x-4,

作出y=log2x与y=3x-4的图象,如图所示,

由图可知,y=log2x与y=3x-4有2个交点,所以当x0时,f(x)=0有2个零点,

综上,f(x)有3个零点.

5.(5分)已知函数f(x)=2-x,x0,1+|x-1|,x≥0,若函数g(

A.(1,2] B.(1,2)

C.(0,1) D.[1,+∞)

【解析】选A.因为函数g(x)=f(x)-m有三个零点,

所以函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象,如图所示,

由图可知,1m≤2,即m的取值范围是(1,2].

6.(5分)(多选题)(2023·郴州质检)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是 ()

A.1x12 B.x1+x21

C.x1+x22 D.x11

【解析】选AC.函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|的图象与直线y=-b有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x1x2),在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象,如图所示,可知1x12,2x1-2+2x2-2=0,即4=2x1+2x222x1·2x2=

7.(5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c是奇函数,且有三个不同的零点,写出一个符合条件的函数:f(x)=________.?

【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c为奇函数,

故a=c=0,f(x)=x3+bx=x(x2+b)有三个不同零点,所以b0,所以f(x)=x3-x满足题意.

答案:x3-x(答案不唯一)

8.(5分)已知函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=________.?

【解析】函数f(x)=2lgx+x-4在(0,+∞)上为增函数,又因为f(3)=2lg3+3-4=2lg3-1=lg9-10,f(4)=2lg4+4-4=2lg40,即f(3)·f(4)0,则函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(3,4)内,即k=3.

答案:3

9.(10分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-a2,3a2c2b.求证

(1)a0且-3ba-3

(2)函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.

【证明】(1)因为f(1)=a+b+c=-a2

所以c=-32a-b.因为3a2c=-3a-2b

所以3a-b.因为2c2b,所以-3a4b.

若a0,则-3ba-3

若a=0,则0-b,0b,不成立;

若a0,则ba-3,ba-34

综上,a0且-3ba-3

(2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=-a2

当c0时,f(0)0,f(1)0,

所以f(x)在(0,1)内至少有一个零点;

当c=0时,f(0)=0,f(1)0,f(2)=4a+2b=a