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牛栏山一中2023—2024学年第一学期10月月考高二数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,四个选项中只有一是符合题目.)
1.在空间直角坐标系中,已知点
,则线段
的长度为( )
A.3 B.4
C.
D.
【答案】A
【解析】
分析】根据距离公式计算即可.
【详解】
.
故选:A.
2.在空间直角坐标系中,点
,点,则点
关于点
的对称点坐标是( )
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据中点坐标公式即可得结果.
【详解】设点关于点的对称点坐标,
由中点坐标公式可得 ,解得 ,即,故选:B.
经过点,且倾斜角为的直线方程是( )
B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由倾斜角求斜率,应用点斜式求直线方程.
【详解】由题设,直线斜率为,又过,
所以,直线方程为(或).故选:D
直线x+(m+2)y﹣1=0与直线mx+3y﹣1=0平行,则m的值为( )
A.﹣3 B.1 C.1或﹣3 D.﹣1或3
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得1×3=(m+2)m,解方程求出m,然后检验即可
【详解】根据直线x+(m+2)y﹣1=0与直线m+3y﹣1=0平行,可得1×3=(m+2)m,解得m=1或﹣3,
当m=1时,两直线的方程重合,不符合题意;
当m=﹣3时,两直线的方程为x﹣y﹣1=0和3x﹣3y+1=0,两直线平行,符合题意,故m=﹣3.
故选:A.
如图,空间四边形中,,点 为中点,点在侧棱上,且
,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形中线段关系,应用向量加减、数乘的几何意义用 表示出 .
【详解】
【详解】
.
故选:C6.
故选:C
6.直线
的倾斜角的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线斜率,结合斜率与倾斜角的关系求倾斜角的范围.
【详解】由题设,直线斜率为,
若倾斜角为 ,则 ,故.
故选:C
7.给出下列命题:
①经过点的直线都可以用方程表示;
②若直线的方向向量,平面的法向量,则;
③直线必过定点;
④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么一定共线.其中真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】
【分析】对于①④,可举出反例;对于②,计算向量数量积得到,从而得到;对于③,变形后得到直线所过定点.
【详解】对于①,当经过点的直线斜率不存在时,不能用方程表示,①错误;对于②,因为,故,
则直线与垂直,则,②正确;
对于③,直线变形为,必过定点,③正确;对于④,不共线的向量 与零向量不能构成空间向量的一个基底,④错误.
故选:B
8.已知空间三点坐标为( )
,
,
,在直线
上有一点
满足,则点的
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设,由向量垂直的坐标表示可构造方程求得,进而可得点坐标.
【详解】由题意知:,,
设
,
,
,
,解得:
,
,又,
.
故选:D.
9.如图,在平行六面体中,
,,
则直线 与直线 所成角的余弦值为(
)
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有、,利用向量数量积的运算律求、,最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
【详解】由 , ,
所以 ,
又
又
,
,
所以
,而
,
,
综上,直线与直线所成角的余弦值为 .
故选:D
如图,在棱长为1的正方体中,分别是线段上的点,是直线 上的点,满足平面,且不是正方体的顶点,则的最小值是( )
B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方体的性质得到平面,然后建立空间直角坐标系,设,
,,根据∥平面,得到 ,,然后得到
,最后求最值即可.
【详解】
因为
为正方体,所以
平面
,
,
因为
平面
,所以
,
因为
,
平面
,所以
平面
,
如图,以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,
,,
设,,,
,,,因为∥平面,所以,
因为,所以 ,即,
,
所以当 时, 最小,最小为 .
故选:A.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.)
直线的倾斜角为 .
【答案】##
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率 ,
设其倾斜角为,故
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