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专题2.5四边形综合五种题型与真题训练
题型一:平行四边形综合
1.(2022嘉定一模25题)在平行四边形ABCD中,对角线AC与边CD垂直,,四边形ABCD
的周长是16,点E是在AD延长线上的一点,点F是在射线AB上的一点,∠CED=∠CDF.
(1)如图1,如果点F与点B重合,求∠AFD的余切值;
(2)如图2,点F在边AB上的一点.设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式并写出它
的定义域;
(3)如果BF:FA=1:2,求△CDE的面积.
【解答】解:(1)如果点F与点B重合,设DF与AC交于点M,
∵AC⊥CD,
∴∠DCA=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠CAB=∠DCA=90°,
在Rt△CAB中,设AB=3k,
∵,
∴AC=4k,
∴BC==5k,
∵四边形ABCD的周长是16,
∴2(AB+BC)=16,
即2(3k+5k)=16,
∴k=1,
∴AB=3,BC=5,AC=4,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AM=CM=AC=2,
∴cot∠AFD=;
(2)解:∵CD∥AB,
∴∠EDC=∠FAD,∠CDF=∠AFD,
∵∠CED=∠CDF,
∴∠CED=∠AFD,
∴△CDE∽△DAF,
∴,
由题意,得AD=BC=5,DE=x﹣5,DC=AB=3,AF=3﹣y,
∴,
∴y=﹣,
定义域是:5<x≤.
(3)解:点F在射线AB上都能得到:△CDE∽△DAF,
∴,
①当点F在边AB上,
∵BF:FA=1:2,AB=3,
∴AF=2,
由题意,得S=AF•AC,
△DAF
∵AC=4,
∴S=×2×4=4,
△DAF
∴,
∴S=,
△CDE
②当点F在AB的延长线上,
∵BF:FA=1:2,AB=3,
∴AF=6,
由题意,得S=AF•AC,
△DAF
∴S=AF•AC=12,
△DAF
∴,
∴S=.
△CDE
综上所述,△CDE的面积是或.
题型二:菱形综合
1.(2022闵行一模25题)已知四边形ABCD是菱形,AB4,点E在射线CB上,
点F在射线CD上,且EAFBAD.
(1)如图,如果BAD90,求证:AEAF;
AF
(2)如图,当点E在CB的延长线上时,如果ABC60,设DFx,y,
AE
yxx
试建立与的函数关系式,并写出的取值范围
(3)联结AC,BE2,当△AEC是等腰三角形时,请直接写出DF的长.
【小问1详解】解:证明:四边形ABCD是菱形,BAD90,
菱形ABCD是正方形,
BAEABCADF90,ADAB,
QBAEDAF,
ABEADF(ASA),
AEAF;
【小问2详解】解:如图1,
在上截取DGDF,四边形ABCD是菱形,
AD
,,DGF是正三角形,
ADF
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