2025届高考数学一轮复习专练8 函数的奇偶性与周期性.docx

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八函数的奇偶性与周期性

(时间:45分钟分值:100分)

【基础落实练】

1.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的

是 ()

A.y=x+f(x) B.y=xf(x)

C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)

【解析】选B.设g(x)=xf(x).

因为f(-x)=-f(x),

所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),

所以g(x)为偶函数.

2.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(2)等于 (

A.0 B.2 C.4 D.-2

【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在R上的周期为2,所以f(2)=f(0)=0,

f(-52)=f(-12)=-f(12)

所以f(-52)+f(2)=-2

3.(5分)已知函数f(x)=sinx+x3+1x+3,若f(a)=-1,则f(-a)= (

A.3 B.5 C.6 D.7

【解析】选D.函数f(x)=sinx+x3+1x+3,f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-1x+3+sinx+x3+1x+3=-sinx-x3-1x+sinx+x3+1x+6=6,若f(a)=-1,则f(-a)=6-

4.(5分)(2023·重庆巴蜀中学月考)已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x+ln(x+1),则当x0时,f(x)= ()

A.-x-ln(1-x) B.x-ln(1-x)

C.-x+ln(1-x) D.x+ln(1-x)

【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,当x0时,-x0,所以f(x)=f(-x)=-x+ln(1-x).

5.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则 ()

A.f(x+1)为偶函数 B.f(x-1)为偶函数

C.f(x+1)为奇函数 D.f(x-1)为奇函数

【解析】选C.因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即f(x+1)是奇函数.

6.(5分)(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是 ()

A.这个函数有两个单调递增区间

B.这个函数有三个单调递减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值7

D.这个函数在其定义域内有最小值-7

【解析】选BC.根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出其在[-7,7]上的图象,如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间,有三个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不是-7.

7.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.?

【解析】令H(x)=f(x)+x2,则H(-1)+H(1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,

所以f(-1)=-3,

所以g(-1)=f(-1)+2=-1.

答案:-1

8.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=__________

【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.

【解析】根据题意,设f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)=x2-2x+ax+1+cosx

若f(x)为偶函数,则f(-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f(x),变形可得(a-2)x=0在R上恒成立,必有a=2.

答案:2

9.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.

(1)求f(π)的值;

(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.

【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数.又4-π∈(0,1),

所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.

(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),

得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),

即f(1+x)=f(1-x),

故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.

当-4≤x≤4时,设f