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1TheSatisfiabilityProblemCook’sTheorem:AnNP-CompleteProblemRestrictedSAT:CSAT,3SAT
2BooleanExpressionsBoolean,orpropositional-logicexpressionsarebuiltfromvariablesandconstantsusingtheoperatorsAND,OR,andNOT.Constants,andthevaluesofvariables,aretrueandfalse,representedby1and0,respectively.We’lluseconcatenationforAND,+forOR,-forNOT.
3Example:Booleanexpression(x+y)(-x+-y)istrueonlywhenvariablesxandyhaveoppositetruthvalues.Note:parenthesescanbeusedatwill,andareneededtomodifytheprecedenceorderNOT(highest),AND,OR.
4TheSatisfiabilityProblem(SAT)Studyofbooleanexpressionsgenerallyisconcernedwiththesetoftruthassignments(assignmentsof0or1toeachofthevariables)thatmakethefunctiontrue.pletenessneedsonlyasimplerquestion(SAT):doesthereexistatruthassignmentmakingtheexpressiontrue?
5Example:SAT(x+y)(-x+-y)issatisfiable.Thereare,infact,twosatisfyingtruthassignments:x=0;y=1.x=1;y=0.x(-x)isnotsatisfiable.
6SATasaLanguage/ProblemAninstanceofSATisabooleanexpression.Mustbecodedinafinitealphabet.Usespecialsymbols(,),+,-asthemselves.Representthei-thvariablebysymbolxfollowedbyintegeriinbinary.
7Example:EncodingforSAT(x+y)(-x+-y)wouldbeencodedbythestring(x1+x10)(-x1+-x10)
8SATisinNPThereisamultitapeNTMthatcandecideifaBooleanexpressionoflengthnissatisfiable.TheNTMtakesO(n2)timealonganypath.Usenondeterminismtoguessatruthassignmentonasecondtape.Replaceallvariablesbyguessedtruthvalues.Evaluatetheexpressionforthisassignment.Acceptiftrue.
9Cook’sTheoremSATisplete.Toprove,wemustshowhowtoconstructapolytimereductionfromeachlanguageLinNPtoSAT.StartbyassumingthemostrestrictedpossibleformofNTMforL(nextslide).
10AssumptionsAboutNTMforLOnetapeonly.Headnevermovesleftoftheinitialposition.Statesandtapesymbolsaredisj
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