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(深圳一模)2024年广东省深圳市高三年级第一次调考数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若角α的终边过点(4,3),则sin(α+π2
A.45 B.?45 C.3
2.已知i为虚数单位,若z=2i1+i,则z?z
A.2 B.2 C.?2i D.2
3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增,且对任意x1,x2,均有f(x1
A.y=ln|x| B.y=x3 C.
4.已知a,b是夹角为120°的两个单位向量,若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a,则
A.?2 B.2 C.?23
5.由0,2,4组成可重复数字的自然数,按从小到大的顺序排成的数列记为{an},即a1=0,a2=2,a3=4
A.34 B.33 C.32 D.30
6.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1
A.28π3 B.40π3 C.56π3
7.已知数列{an}满足a1=a2=1,an+2=a
A.624 B.625 C.626 D.650
8.已知双曲线E:x2a2?y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A
A.?378 B.?34
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.“体育强则中国强,国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会,已知运动员甲特训的成绩分别为:9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,则这组数据的(????)
A.众数为12 B.平均数为14 C.中位数为14.5 D.第85百分位数为16
10.设a1,b0,且lna=2?b,则下列关系式可能成立的是(????)
A.a=b B.b?a=e C.a=2024b D.abe
11.如图,八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形,且顶点B,C,D,E在同一个平面内.若点M在四边形BCDE内(包含边界)运动,N为AE的中点,则(????)
A.当M为DE的中点时,异面直线MN与CF所成角为π3
B.当MN//平面ACD时,点M的轨迹长度为22
C.当MA⊥ME时,点M到BC的距离可能为3
D.存在一个体积为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)的最小正周期为π,其图象关于点(2π
13.设点A(?2,0),B(?12,0),C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且AP=λAB+μ
14.已知函数f(x)=a(x?x1)(x?x2)(x?x3)(a0),设曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处切线的斜率为
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=4
(1)求证:数列an为等差数列
(2)若数列{bn}满足b1=6,且bn+1bn=anan+2
16.(本小题15分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是菱形,平面ABCD⊥平面PAD,点M在DP上,且DM=2MP,AD=AP,∠PAD=
(1)求证:BD⊥平面ACM;
(2)若∠ADC=60°,求平面ACM与平面ABP
17.(本小题15分)
在某数字通信中,信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数字,由于随机因素干扰,接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为α(0α1),1?α;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为β(0β1),1?β.假设每次信号的传输相互独立.
(1)当连续三次发送信号均为0时,设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f(α),求f(α)的最小值;
(2)当连续四次发送信号均为1时,设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,x2,x3,x4,记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(x1,x2
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=a(x?1)
(1)当a=0时,求函数f(x)在区间[e?2
(2)讨论函数f(x)的极值点个数;
(3)当函数f(x)无极值点时,求证:a
19.(本小题17分)
已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线x=n2m的距离的比为常数mn,其中m0,n0,且m≠n
(1)求C的方程,并说明轨迹的形状;
(2)设点B(?m,0),若曲线C上两动点M,N均在x轴上方,AM
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