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专题2.6二次函数六种题型综合与真题训练
题型一:二次函数中直角三角形的存在性
1.(2019嘉定二模)在平面直角坐标系中,如图,抛物线(、是常数)
经过点、,与轴的交点为点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点为轴上一点,如果直线和直线的夹角为15º,求线段的长度;
(3)设点为此抛物线的对称轴上的一个动点,当△为直角三角形时,求点的坐标.
【分析】
(1)将点A和点B坐标代入解析式求解可得;
(2)先求出点C坐标,从而得出OCOB3,∠CBO45°,据此知∠DBO30°或60°,依据
DOBO•tan∠DBO求出得DO=或3,从而得出答案;
22222
(3)设P(-1,t),知BC18,PB4+t,PCt-6t+10,再分点B、点C和点P直角顶
为
点三种情况分别求解可得.
【详解】
(1)依题意得:,
解得:
∴抛物线的表达式是
(2)∵抛物线与轴交点为点
∴点的坐标是,又点的坐标是
∴
∴或
在直角△中,
∴或,∴或.
(3)由抛物线得:对称轴是直线
根据题意:设,又点的坐标是,点的坐标是
∴,,,
①若点为直角顶点,则即:解之得:,
②若点为直角顶点,则即:解之得:,
③若点为直角顶点,则即:解之得:
,.
综上所述的坐标为或或或.
【点睛】本题是二次函数的综合题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三
角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点.
2.(2019宝山二模)如图,已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、
两点,与轴交于C点,其中.
(1)求点B的坐标及此抛物线的表达式;
(2)点D为y轴上一点,若直线BD和直线BC的夹角为15º,求线段CD的长度;
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点,当为直角三角形时,求点的坐
标.
【分析】
(1)将A、C坐标代入抛物线,结合抛物线的对称轴,解得a、b、c的值,求得抛物线解析式;
(2)求出直线BC的解析式为,得出∠CBA45°再求出∠DBA30°或∠DBA60°,再求
出DO即可;
(3)设点P的坐标,分别以B、C、P为直角顶点,进行分类讨论,再运用勾股定理得到方程式
进行求解.
【详解】
解:(1)根据对称轴x-1,A(1,0),得出B为(-3,0)
依题意得:,解之得:,
∴抛物线的解析式为.
(2)∵对称轴为,且抛物线经过,∴
∴直线BC的解析式为.∠CBA45°
∵直线BD和直线BC的夹角为15º,∴∠DBA30°或∠DBA60°
在△BOD,
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