专题2.6二次函数六种题型综合与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）（解析版）.pdfVIP

专题2.6二次函数六种题型综合与真题训练

题型一：二次函数中直角三角形的存在性

1.（2019嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）

经过点、，与轴的交点为点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；

（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．

【分析】

（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；

（2）先求出点C坐标，从而得出OCOB3，∠CBO45°，据此知∠DBO30°或60°，依据

DOBO•tan∠DBO求出得DO＝或3，从而得出答案；

22222

（3）设P（-1，t），知BC18，PB4+t，PCt-6t+10，再分点B、点C和点P直角顶

为

点三种情况分别求解可得．

【详解】

（1）依题意得：，

解得：

∴抛物线的表达式是

（2）∵抛物线与轴交点为点

∴点的坐标是，又点的坐标是

∴

∴或

在直角△中，

∴或，∴或.

（3）由抛物线得：对称轴是直线

根据题意：设，又点的坐标是，点的坐标是

∴，，，

①若点为直角顶点，则即：解之得：，

②若点为直角顶点，则即：解之得：，

③若点为直角顶点，则即：解之得：

，.

综上所述的坐标为或或或.

【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三

角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．

2.（2019宝山二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、

两点，与轴交于C点，其中.

（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；

（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；

（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐

标.

【分析】

（1）将A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得a、b、c的值，求得抛物线解析式;

（2）求出直线BC的解析式为，得出∠CBA45°再求出∠DBA30°或∠DBA60°,再求

出DO即可;

（3）设点P的坐标，分别以B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式

进行求解.

【详解】

解：（1）根据对称轴x-1,A（1,0），得出B为(-3,0)

依题意得：，解之得：，

∴抛物线的解析式为.

（2）∵对称轴为，且抛物线经过，∴

∴直线BC的解析式为.∠CBA45°

∵直线BD和直线BC的夹角为15º，∴∠DBA30°或∠DBA60°

在△BOD，