圆有关综合题（燕尾模型与半角模型、三角形的存在性）与模拟题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）.pdf

专题2.8圆有关综合题（燕尾模型与半角模型、三角形的存在性）

与模拟题训练

题型一：垂径定理背景下燕尾模型与半角模型

1．（2018·上海中考真题）已知⊙O的直径AB2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果ACBD，求弦AC的长；

（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；

（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一

边，求△ACD的面积．

21

【答案】（1）AC3；（2）cot∠ABD2；（3）S△ACD．

2



【分析】（1）由ACBD知ADCDCDBC，得ADBC，根据OD⊥AC知ADCD，



从而得ADCDBC，即可知∠AOD∠DOC∠BOC60°，利用AFAOsin∠AOF可得答案；

1

（2）连接BC，设OFt，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BCDF2t，由DF1﹣t可得t，

3

212

即可知BCDF，继而求得EFAC，由余切函数定义可得答案；

343

2

（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BCAD2、OF，从而根据三角形

2

面积公式计算可得．



【详解】（1）∵OD⊥AC，∴ADCD，∠AFO90°，



又∵ACBD，∴ACBD，即ADCDCDBC，



∴ADBC，∴ADCDBC，∴∠AOD∠DOC∠BOC60°，

33

∵AB2，∴AOBO1，∴AFAOsin∠AOF1×，则AC2AF3；

22

（2）如图1，连接BC，

∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO∠C90°，∴OD∥BC，∴∠D∠EBC，

∵DEBE、∠DEF∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），

∴BCDF、ECEF，又∵AOOB，∴OF是△ABC的中位线，

设OFt，则BCDF2t，∵DFDO﹣OF1﹣t，∴1﹣t2t，

2

12242

解得：t，则DFBC、AC222，

33ABBC2