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第二章
3．给出的数值表
X0.40.50.60.70.8
lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144
用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算即，
则
若采用二次插值法计算时，
7.设且求证：
解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为
插值余项为
8．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断
误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为
设步长为h，即
若截断误差不超过，则
9．若，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
12.证明
证明：
得证。
14．若有个不同实根，
证明：
证明：有个不同实根
且
令
则
而
令
则
又
得证。
16．求及。
解：
若
则
17．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中是关于的待定函数，
现把看成上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在和，使
即在上有四个互异零点。
根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，
故在内至少有三个互异零点，
依此类推，在内至少有一个零点。
记为使
又
其中依赖于
19．求一个次数不高于4次的多项式，使它满足.
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
22．求在上分段线性插值函数，并估计误差。
解：
在区间上，
函数在小区间上分段线性插值函数为
误差为
23．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：
在区间上，
令
函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为
误差为
又
24．给定数据表如下：
X0.250.300.390.450.53
j
Y0.50000.54770.62450.67080.7280
j
试求三次样条插值，并满足条件：
解：
由此得矩阵形式的方程组为
21M
0
2M
1
2M
2
2M
3
12M
4
求解此方程组得
三次样条表达式为
将代入得
课外：
解：有题意，插值条件为
0
1.000000.995000.980070.955340.921060.87758
0.82534
为使用牛顿插值公式，先构造查分表
一阶差二阶差三阶差四阶差五阶差
商商商商商
01.00000
0.10.99500-0.05000
0.20.98007-0.14930-0.49650
0.30.95534-0.24730-0.490000.02167
0.40.92106-0.34280-0.47750.041670.05000
0.50.87758-0.43480-0.46000.058330.04165-0.01670
0.60.82534-0.52240-0.438000.07330.03742-0.00846
第三章
4.假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？
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