数值分析第2章.pptx

1第2章插值法第1节引言第2节拉格朗日插值第3节均差与牛顿插值多项式第4节埃尔米特插值第5节分段低次插值第6节三次样条插值

22.1引言（1.1）设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法.2.1.1插值问题的提出

3（1.2）若是次数不超过的代数多项式，其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值.本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式，就称为分段插值.若为三角多项式，就称为三角插值.即

4从几何上看，插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.图2-1见图2-1.

5由此可以得到关于系数的元线性方程组上的函数值,求次数不超过的多项式，使2.1.2多项式插值（1.3）设在区间上给定个点

6（1.4）此方程组的系数矩阵为称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由于互异，故（1.5）

7因此线性方程组（1.4）的解存在且唯一.定理1满足条件（1.3）的插值多项式是存在唯一的.（1.3）

82.2.1线性插值与抛物插值对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论的简单情形.问题：给定区间及端点函数值，要求线性插值多项式，2.2拉格朗日插值使它满足（1.2）

9其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.

10由的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），（2.1）由两点式看出，是由两个线性函数（2.2）的线性组合得到，其系数分别为及，即（2.3）

11称及为线性插值基函数，显然，及也是线性插值多项式，在节点及上满足条件图形见图2-3.图2-3

12下面讨论的情形.假定插值节点为，，，要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表达式，此时基函数是二次函数，且在节点上满足条件（2.4）使它满足

13接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求为例，由插值条件，它应有两个零点及，可由插值条件定出其中为待定系数，于是可表示为

14同理二次插值基函数，，在区间上的图形见下图.

15利用，，，（2.5）显然，将,，代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足条件得

162.2.2拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.（2.6）根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.为构造，

17定义1若次多项式在个节点上满足条件（2.7）就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.

18显然它满足条件（2.7）.于是，满足条件（2.6）的插值多项式可表示为（2.9）（2.8）与前面的推导类似，次插值基函数为（2.7）（2.6）此插值多项式称为拉格朗日插值多项式，

容易求得（2.10）若引入记号于是公式（2.9）可改写成（2.11）注意:次插