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1第2章插值法第1节引言第2节拉格朗日插值第3节均差与牛顿插值多项式第4节埃尔米特插值第5节分段低次插值第6节三次样条插值
22.1引言(1.1)设函数在区间上有定义,且已知在点上的值,若存在一简单函数,使成立,就称为的插值函数,点称为插值节点,包含节点的区间称为插值区间,求插值函数的方法称为插值法.2.1.1插值问题的提出
3(1.2)若是次数不超过的代数多项式,其中为实数,就称为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值.本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式,就称为分段插值.若为三角多项式,就称为三角插值.即
4从几何上看,插值法就是确定曲线,使其通过给定的个点,并用它近似已知曲线.图2-1见图2-1.
5由此可以得到关于系数的元线性方程组上的函数值,求次数不超过的多项式,使2.1.2多项式插值(1.3)设在区间上给定个点
6(1.4)此方程组的系数矩阵为称为范德蒙德(Vandermonde)矩阵,由于互异,故(1.5)
7因此线性方程组(1.4)的解存在且唯一.定理1满足条件(1.3)的插值多项式是存在唯一的.(1.3)
82.2.1线性插值与抛物插值对给定的插值点,可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论的简单情形.问题:给定区间及端点函数值,要求线性插值多项式,2.2拉格朗日插值使它满足(1.2)
9其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.
10由的几何意义可得到表达式(点斜式),(两点式),(2.1)由两点式看出,是由两个线性函数(2.2)的线性组合得到,其系数分别为及,即(2.3)
11称及为线性插值基函数,显然,及也是线性插值多项式,在节点及上满足条件图形见图2-3.图2-3
12下面讨论的情形.假定插值节点为,,,要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表达式,此时基函数是二次函数,且在节点上满足条件(2.4)使它满足
13接下来讨论满足(2.4)的插值基函数的求法,以求为例,由插值条件,它应有两个零点及,可由插值条件定出其中为待定系数,于是可表示为
14同理二次插值基函数,,在区间上的图形见下图.
15利用,,,(2.5)显然,将,,代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足条件得
162.2.2拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形,讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.(2.6)根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.为构造,
17定义1若次多项式在个节点上满足条件(2.7)就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.
18显然它满足条件(2.7).于是,满足条件(2.6)的插值多项式可表示为(2.9)(2.8)与前面的推导类似,次插值基函数为(2.7)(2.6)此插值多项式称为拉格朗日插值多项式,
容易求得(2.10)若引入记号于是公式(2.9)可改写成(2.11)注意:次插
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