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三角恒等变换的综合运用
突破三角恒等变换这一难点的主要方法有以下几个方面。
1、理解和记忆公式
本局部内容公式众多，但各公式之间有着密切的内在联系和规律。了解这些联系和规律对我们理解、记忆和运用这些公式至关重要。其内在的联系以及推导的线索如下：
三角比的定义
三角比的定义
同角三角
比的关系
诱导公式
万能置换公式
积化和差
和差化积
2、实现三个转化
在熟悉、掌握和运用公式时，必须紧紧抓住三角比中的三个转化，即“角的转化”、“三角比名称的转化”、“运算结构的转化”。这样就可以发现差异，找出差异间的联系，运用相关的公式，促使差异的转化。如化异名为同名，化异角为同角，化异次为同次，化和差为积，化积为和差；引进辅助角，妙用万能公式，切割化弦，化切法。等等。
3、注意三个技巧
〔1〕常值代换，特别是“1”的代换。如，等。
〔2〕分拆与配凑。如分拆项：，分拆因式：；配凑角：，等。
〔3〕降幂与升幂。即倍角公式的变形——降幂公式：，；升幂公式：，。
下面给出一些三角比恒等变换的综合运用的例子，同学们再仔细体会一下。
例1的值为。
分析联想与的关系式：可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当。
解。
，。
。
例2。
分析一观察角，函数名称的关系后，易联想到万能公式，于是可以按照如下方式去求值。
解
。
分析二联想到关于的齐次公式可以化切，于是可以按照如下方式求值。
解。
评注两相比拟发现，解法二更为简捷，事实上，对于的值，而求关于的齐次公式的值时，方法二更具有通用性。
例3的三内角分别为，且满足，
分析这是一道以三角形为背景材料的三角函数问题，要注意题中的隐含条件：结合得这对式子的变形很有帮助。假设把等式两边通分，和差化积，积化和差后就会变形得到的式子，从而求得的值。再利用半角公式，即可求得的值。
解
，
且。
，
解关于的一元二次方程得。
。
例4
解法一：
解法二：
例5
分析：对三角函数式化简的目标是：
〔1〕项数尽量少；
〔2〕次数尽量低；
〔3〕角尽量少；
〔4〕三角比名称尽量少；
〔5〕尽量不含根号；
〔6〕分母尽量不含三角式；
〔7〕求出特殊值；
观察欲化简的式子发现：
〔1〕次数为2〔有降次的可能〕；
〔2〕涉及的角有α、β、2α、2β，〔需要把2α化为α，2β化为β〕；
〔3〕函数名称为正弦、余弦〔可以利用平方关系进行名称的统一〕；
〔4〕共有3项〔需要减少〕，由于侧重角度不同，出发点不同，此题化简方法不止一种。
解法一：
解法二：〔从“名”入手，异名化同名〕
解法三：〔从“幂”入手，利用降幂公式先降次〕
解法四：〔从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方〕
评注在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。
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