2025届高考数学一轮复习专练18 导数与函数的极值、最值.docx

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十八导数与函数的极值、最值

(时间:45分钟分值:100分)

【基础落实练】

1.(5分)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为 ()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知,f(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,

但是在原点附近的导数值恒大于零,

故x=0不是函数f(x)的极值点.

其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,

故极大值点有2个.

2.(5分)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)=xex+1,则 ()

A.x=1为f(x)的极大值点

B.x=1为f(x)的极小值点

C.x=-1为f(x)的极大值点

D.x=-1为f(x)的极小值点

【解析】选D.由f(x)=xex+1,可得f(x)=(x+1)ex,令f(x)0可得x-1,即函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增;令f(x)0可得x-1,即函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,所以x=-1为f(x)的极小值点.

3.(5分)函数f(x)=exx2-3在

A.e36 B.e2 C.e34

【解析】选A.依题意f(x)=ex(x2-3)2(x2-2x

故函数在(2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)=e332

4.(5分)已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为()

A.2 B.-5

C.3+ln2 D.-2+2ln2

【解析】选B.f(x)=2x+2ax

因为f(x)在x=2处取得极小值,

所以f(2)=4a-2=0,解得a=12

所以f(x)=2lnx+12x2-3x

f(x)=2x+x-3=(

所以f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,

所以f(x)的极大值为f(1)=12-3=-5

5.(5分)(多选题)(2023·怀化模拟)下列函数中,存在极值点的是 ()

A.y=x-1x B.y=2|x

C.y=-2x3-x D.y=xlnx

【解析】选BD.由题意,对于A,函数y=x-1x,则y=1+1x20,所以函数y=x-1x在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,没有极值点;对于B,函数y=2|x|=2x,x≥0,2-x,x0,则当x0时,函数y=2|x|单调递减,当x0时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值;对于C,函数y=-2x3-x,则y=-6x2-10,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点;对于D,函数y=xlnx,y=lnx+1,则当x∈(0,1e)时,y0,函数单调递减,当x∈(

6.(5分)已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a= ()

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选A.令x+1=t,则f(x)=g(t)=t2+cost+a,g(t)=2t-sint,(2t-sint)=2-cost0,g(t)在R上单调递增,而g(0)=0,故t∈(-∞,0)时,g(t)0,g(t)单调递减,t∈(0,+∞)时,g(t)0,g(t)单调递增,故g(t)min=g(0)=1+a=4,解得a=3.

7.(5分)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则

【解析】由已知得f(x)=ex(x+a-1)(x+a)2(

则f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,

所以f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=e,

即1-a=12,得a=1

答案:1

8.(5分)(2023·苏州模拟)函数f(x)=-13x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是__________

【解析】由于f(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,

故若函数f(x)在(a,10-a2)上存在最大值,

则a1,10-a

答案:[-2,1)

9.(10分)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).

(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;

(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.

【解析】f(x)=(x+1-a)ex.

(1)当a=2时,f(x)=(x-1)ex.

所以f(0)=-2,f(0)=-1,

所以所求切线方程为