2025高考数学一轮复习-7.6.1-向量法求空间角-专项训练【含答案】.docxVIP

7.6.1-向量法求空间角-专项训练

1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝3.

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求二面角A-PC-B的大小．

2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E.

(1)求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；

(2)当三棱锥B1-BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．

3．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，AA1＝23，E为线段DD1上一点．

(1)求证：AC⊥B1D；

(2)若平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB1E

4．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上的动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围．

参考答案

1．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，

所以△PAB为直角三角形，

又因为PB＝PA2+AB2＝2，

所以PB2＋BC2＝PC2，则△PBC为直角三角形，故BC⊥PB.

又因为BC⊥PA，PA∩PB＝P，

所以BC⊥平面PAB.

(2)由(1)知BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，则BC⊥AB，

以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，所以AP＝(0，0，1)，AC＝(1，1，0)，BC＝(0，1，0)，PC＝(1，1，－1)．

设平面PAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则m·AP

令x1＝1，则y1＝－1，所以m＝(1，－1，0)为平面PAC的一个法向量，

设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

则n·BC

令x2＝1，则z2＝1，所以n＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量，

所以cos〈m，n〉＝m·nmn＝

又因为二面角A-PC-B为锐二面角，

所以二面角A-PC-B的大小为π3

2．解：(1)证明：取BC1中点M，连接EM，MD，如图所示．

∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，

又∵M是BC1的中点，∴DM∥CC1，

又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1∥CC1，AA1⊥平面ABC，

∴DM∥AE，DM⊥平面ABC，

∵AD∥平面BC1E，且AD?平面ADME，平面ADME∩平面BC1E＝EM，∴AD∥ME，

∵CC1⊥平面ABC，且AD?平面ABC，

∴CC1⊥AD，

又∵CC1∩BC＝C，且CC1，BC?平面BB1C1C，

∴AD⊥平面BB1C1C.

又∵AD∥ME，∴ME⊥平面BB1C1C，

∵ME?平面BC1E，

∴平面BC1E⊥平面BB1C1C.

(2)由(1)知ME⊥平面BB1C1C，

则VB1?BC

设BC＝2a，则BD＝a，AD＝9?a2，S△B1BC

∴VB1?BC1E＝13

由基本不等式知，当且仅当a＝9?a

即三棱锥B1-BC1E的体积最大，此时a＝32

以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则有A322，0，0，C0，?322，0，B0，322，0，E322，0，32，C10，

则有n

取y1＝2，解得n＝(0，2，2)为平面BC1E的一个法向量，

设直线AC与平面BC1E所成的角为θ，

则sinθ＝|cos〈n，AC〉|＝33×2+

故直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为66

3．解：(1)证明：连接BD，

∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD.

又BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC.

又BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BDB1，

∴AC⊥平面BDB1．又B1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D.

(2)设CD的中点为F，连接AF，如图．

∵△ACD为等边三角形，∴AF⊥CD，

又CD∥AB，则AF⊥AB.

又AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥AB，AA1⊥AF.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，E(－1，3，h)(0≤h≤23)，B1(2，0，23)，

AB1＝(2，0，23)，AE＝(－1，3，

设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，

∴n·A

令x＝3，则n＝(3，h＋3，－3)为平面AB1E的一个法向量．

又平面A