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7.6.1-向量法求空间角-专项训练
1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3.
(1)求证:BC⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PC-B的大小.
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,点D是BC的中点,点E在AA1上,AD∥平面BC1E.
(1)求证:平面BC1E⊥平面BB1C1C;
(2)当三棱锥B1-BC1E的体积最大时,求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值.
3.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=2,AA1=23,E为线段DD1上一点.
(1)求证:AC⊥B1D;
(2)若平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25,求直线BE与平面AB1E
4.如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,△PAC中,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上的动点,求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围.
参考答案
1.解:(1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以PA⊥BC,同理PA⊥AB,
所以△PAB为直角三角形,
又因为PB=PA2+AB2=2,
所以PB2+BC2=PC2,则△PBC为直角三角形,故BC⊥PB.
又因为BC⊥PA,PA∩PB=P,
所以BC⊥平面PAB.
(2)由(1)知BC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,则BC⊥AB,
以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0),所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1).
设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1),
则m·AP
令x1=1,则y1=-1,所以m=(1,-1,0)为平面PAC的一个法向量,
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),
则n·BC
令x2=1,则z2=1,所以n=(1,0,1)为平面PBC的一个法向量,
所以cos〈m,n〉=m·nmn=
又因为二面角A-PC-B为锐二面角,
所以二面角A-PC-B的大小为π3
2.解:(1)证明:取BC1中点M,连接EM,MD,如图所示.
∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,
又∵M是BC1的中点,∴DM∥CC1,
又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1∥CC1,AA1⊥平面ABC,
∴DM∥AE,DM⊥平面ABC,
∵AD∥平面BC1E,且AD?平面ADME,平面ADME∩平面BC1E=EM,∴AD∥ME,
∵CC1⊥平面ABC,且AD?平面ABC,
∴CC1⊥AD,
又∵CC1∩BC=C,且CC1,BC?平面BB1C1C,
∴AD⊥平面BB1C1C.
又∵AD∥ME,∴ME⊥平面BB1C1C,
∵ME?平面BC1E,
∴平面BC1E⊥平面BB1C1C.
(2)由(1)知ME⊥平面BB1C1C,
则VB1?BC
设BC=2a,则BD=a,AD=9?a2,S△B1BC
∴VB1?BC1E=13
由基本不等式知,当且仅当a=9?a
即三棱锥B1-BC1E的体积最大,此时a=32
以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则有A322,0,0,C0,?322,0,B0,322,0,E322,0,32,C10,
则有n
取y1=2,解得n=(0,2,2)为平面BC1E的一个法向量,
设直线AC与平面BC1E所成的角为θ,
则sinθ=|cos〈n,AC〉|=33×2+
故直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为66
3.解:(1)证明:连接BD,
∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
又BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴BB1⊥AC.
又BD∩BB1=B,BD,BB1?平面BDB1,
∴AC⊥平面BDB1.又B1D?平面BDB1,∴AC⊥B1D.
(2)设CD的中点为F,连接AF,如图.
∵△ACD为等边三角形,∴AF⊥CD,
又CD∥AB,则AF⊥AB.
又AA1⊥平面ABCD,则AA1⊥AB,AA1⊥AF.
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,3,0),E(-1,3,h)(0≤h≤23),B1(2,0,23),
AB1=(2,0,23),AE=(-1,3,
设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),
∴n·A
令x=3,则n=(3,h+3,-3)为平面AB1E的一个法向量.
又平面A
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