矩阵与数值分析-课件-第2章-大工.ppt

定理2.14,且其秩rank(A)=r,则存在其中为矩阵A的非零奇异值。设Am阶、n阶酉阵U、V使得（2-47）证明说明AHA和AAH的非零特征值相等,也即秩相等.AHA是秩为r的n阶Hermite半正定矩阵,由Schur定理的推论2.2,比存在n阶酉阵,使得方程组同解,则系数矩阵的秩相等.因此矩阵的列是Cm中的一个标准正交向量组,将其扩充为Cm的一组标准正交基（2-47）称为矩阵A的奇异值分解，亦称为矩阵A的满的奇异值分解。定理2.14简称SVD定理。并称它为矩阵A约化的奇异值分解。关系式亦可写为其中U与V的列向量和分别称为矩阵A的与奇异值?i对应的左奇异向量和右奇异向量.左奇异向量为AAH的单位正交特征向量,右奇异向量为AHA的单位正交特征向量.例1求矩阵的奇异值分解。计算矩阵解求解次序为:令则的特征值和A的奇异值分别为所以再求出V，由对应的标准正交的特征向量为:定义2.6设A为n阶方阵,A的特征多项式为(2-42)其中均为正整数,为A的不同特征值,称mi为?i的代数重数;把与?i对应的线性无关的特征向量的个数,即子空间(即的解空间,称为的零空间)的维数,称为?i的几何重数,记为代数重数?几何重数取特征子空间的一组基扩充为Rn的基定义2.7设A为n阶方阵,?i为其特征值,mi和?i分别为其代数重数和几何重数.如果mi=?i,则称特征值?i为半单的;如果mi?i,则称特征值?i为亏损的.不同特征值对应的特征向量是线性无关的.代数重数为1的特征值一定是半单的.每个特征值都是半单的矩阵称为单纯矩阵(有完备的特征向量系)?可对角化.存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵?不可对角化.定理2.10例1下列矩阵是否可以对角化?A为单纯矩阵,可对角化B为单纯矩阵,可对角化C为亏损矩阵,不可对角化定义2.8称下面的k×k阶方阵为Jordan块定义2.9由若干个Jordan块排成的块对角矩阵为Jordan阵.定理2.12设A为n阶方阵,则存在n阶可逆矩阵T使得(2-43)称(2-43)为A的Jordan分解,J称为A的Jordan标准型,T称为变换矩阵.若不计Jordan块的次序,则Jordan标准型唯一.(一)关于Jordan标准型JJordan标准型是一个块对角矩阵,对角元是矩阵J的特征值.对于特征值?i,它的代数重数是Jordan标准型中以?i为特征值的Jordan块的阶数之和.不同Jordan块的特征值可能相同.对于特征值?i,它的几何重数,即与?i对应的线性无关的特征向量的个数,恰为以?i为特征值的Jordan块的个数.例2求矩阵A的Jordan标准型J,其中解代数重数为3,以-1为特征值的Jordan块的阶数之和为3.几何重数为2,以-1为特征值的Jordan块的个数为2.定理2.13设A为n阶方阵,?i为其特征值,则A的Jordan标准型J中以?i为特征值,阶数为l的Jordan块的个数为例4求矩阵A的Jordan标准型J,其中解代数重数为4,以2为特征值的Jordan块的阶数之和为4.几何重数为2,以2为特征值的Jordan块的个数为2.以2为特征值,阶数为1的Jordan块的个数为以2为特征值,阶数为2的Jordan块的个数为例5求矩阵A的Jordan标准型J,其中解(二)关于变换矩阵T构成一条关于特征值?i的长度为ni的Jordan链.是矩阵A的关于特征值?i的一个特征向量,称为链首.注意:并不是任何一个特征向量都可以做链首,还要求可以利用(2-45)求出Jordan链中的其余向量,因此需要从?i的特征子空间中选取适当的向量作为链首,使得方程组(2-45)可解.(2-45)例4计算例2中矩阵A化Jordan标准型的变换矩阵T.回忆解?1对应两个Jordan块,即有两条Jordan链,长度为1和2.但以x1或x2为链首时都无法求出下一个Jordan链向量.求出?1所