专题1.5图形的性质（2）（上海中考17个考点真题训练）中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）（解析版）.pdf

专题1.5图形的性质（2）（上海中考17个考点真题训练）

一．垂径定理（共5小题）

1．（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．

【分析】根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出BD的长，在Rt△

OBD中，利用勾股定理及可求出OD的长．

【解答】解：如图所示：

过点O作OD⊥AB于点D，

∵AB＝4，

∴BD＝AB＝×4＝2，

在Rt△OBD中，

∵OB＝3cm，BD＝2cm，

∴OD＝＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答

此题的关键．

2．（2009•上海）在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝5．

【分析】作出图形，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出．

【解答】解：作OC⊥AB，垂足为C，

可得：OC＝4，AC＝AB＝3，

根据勾股定理可得：OA＝＝＝5．

【点评】本题难度中等，考查根据垂径定理求圆的半径．

3．（2008•上海）在△ABC中，AB＝AC＝5，（如图）．如果圆O的半径为，且

经过点B，C，那么线段AO的长等于3或5．

【分析】分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB＝AC，OB＝OC，利用线段垂直平分线逆

定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数

定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，

利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD﹣OD即可求出AO

的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．

【解答】解：分两种情况考虑：

（i）如图1所示，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝，

∴BD＝3，

根据勾股定理得：AD＝＝4，

在Rt△BDO中，OB＝，BD＝3，

根据勾股定理得：OD＝＝1，

则AO＝AD+OD＝4+1＝5；

（ii）如图2所示，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OD⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝，

∴BD＝3，

根据勾股定理得：AD＝＝4，

在Rt△BDO中，OB＝，BD＝3，

根据勾股定理得：OD＝＝1，

则OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，

综上，OA的长为3或5．

故答案为：3或5

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟

练掌握定理及性质是解本题的关键．

4．（2012•上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不

与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC＝1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，

请说明理由；

（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【分析】（1）根据OD⊥BC可得出BD＝BC＝，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD

的长；

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE＝；

（3）由BD＝x，可知OD＝，由于∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2+∠3＝45°，过D

作DF⊥OE，DF＝，EF＝x即可得出结论．

【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，

∴BD＝BC＝