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2025高考数学一轮复习-41.2-直线与椭圆-专项训练
一、单项选择题
1.椭圆x28+y22=1与直线
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
2.在椭圆x29+y24=1上求一点M,使点M到直线x
A.(-3,0) B.?
C.?2,?2
3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F且斜率为1的直线交椭圆于
A.x245+y2
C.x232+y2
4.椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA1
A.38,34
C.12,1
5.已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则
A.23 B.
C.-23 D.-
6.直线x-2y+2=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于M
A.17+58
C.17?52
7.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似,其平面图如图2所示,已知外层椭圆的长轴长为200m,且内、外椭圆的离心率均为32,由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC,若AC的斜率为-1
A.75m B.502m
C.50m D.252m
8.已知过椭圆C:x2+y22=1的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线y=2相交于M,N两点.若∠MON为锐角,则直线l的斜率
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.?
C.?∞
D.(-∞,-1)∪?22,
二、多项选择题
9.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆
A.直线AB的方程为y=12(x
B.a2=2b2
C.椭圆的标准方程为x2
D.椭圆的离心率为2
10.在平面直角坐标系Oxy中,已知直线l:kx-y-k=0,椭圆C:x2a2+y
A.l恒过点(1,0)
B.若l恒过C的焦点,则a2+b2=1
C.若对任意实数k,l与C总有两个互异公共点,则a≥1
D.若a<1,则一定存在实数k,使得l与C有且只有一个公共点
三、填空题
11.过椭圆C:x24+y23=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于
12.已知椭圆x22+y2=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=2x+m对称,则实数m的取值范
四、解答题
13.已知动圆与圆C1:(x+4)2+y2=1外切,同时与圆C2:(x-4)2+y2=81内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程,并说明它是什么曲线;
(2)若直线l:4x-5y+40=0,求曲线Γ上的点到直线l的最大距离.
14.已知椭圆C:x216+y24=1,左、右焦点分别为F1,F2,直线l与椭圆交于A,
(1)直线l的方程;
(2)△F1AB的面积.
参考答案
1.B[直线过定点M(1,0)且该定点在椭圆x2
2.B[如图所示:根据题意可知,当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线x+2y-10=0平行时,
点M到直线x+2y-10=0的距离取得最大值,可设切线方程为x+2y+m=0(m>0),联立x+2y+m=0
消去x整理可得25y2+16my+4m2-36=0,
Δ=162m2-100(4m2-36)=0,因为m>0,解得m=5,
所以椭圆x29+y24=1在点
因此,点M到直线x+2y-10=0的距离的最大值为5+1012+
联立x+2y+5=0
可得点M的坐标为?9
3.D[设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=-2,
由已知有,x12a
作差得x12a
则y12?y22x
所以a2=3b2,又c=4,a2=b2+c2=3b2,解得b2=8,a2=24,
则E的方程为x2
故选D.]
4.A[由题意,椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),设P(x0,y0),则y02=344?x02,又由kPA1·kPA2=y0x0+2
5.C[将直线方程y=x+m与椭圆方程联立y=x+m,x23+y2=1,消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于A,B点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2,设F1到AB的距离为d1,F2到AB距离为d2,易知F1(-2,0),F2(2,0),则d1=?2+m2
解得m=-23或-32
6.C[对直线x-2y+2=0,令y=0,解得x=-2,令x=0,解得y=1,
故F(-2,0),M(0,1),则FM=(2,1),设A(
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