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小学“数概念”教学的联结性建构路径

摘要数学学习过程不是局限于某一知识点的封闭、点状、线性的学习过程，而是一个纵向重在立序、横向突出贯通、运用走向实践的联结过程。数学教学可通过联结数学史料，追溯本源；联结已有认知，深化理解；联结多元表征，推论内涵；联结认知断点，构建体系等实践路径，对“数概念”实施联结性、生长性建构。

关键词“数概念”；数学史；认知经验；多元表征；知识断点；联结性建构

“数概念”的认识担负着数学启蒙、生长认知、扎实根基等重任，可为儿童正确理解和把握现实世界、形成和扩展个人智力结构、提升运算及代数思维水平提供坚实可靠的基础。鉴于此可见，“数概念”作为小学数学各领域知识的“基石”和学生数学核心素养的重要组成部分，着实重要。然而，小学“数”认识的相关学习内容的分布比较零散，加之现有教材呈现的多是高度凝结的专家结论，使得学生在学习过程中难以体悟数系扩充的逻辑，也难以厘清概念的“前世”、本源及演变过程。毛斯莱曾经指出，联结包括建立新信息与已有认知之间的联结、不同数学概念及其表征之间的联结、数学概念与现实生活相关现象之间的联结等基本样态[1]。基于此，笔者尝试把联结性建构作为教学实践的核心路径，将数概念教学置于一个含有不同的认知成分的视野中，促进学生对数概念的理解、运用与迁移。

一、联结数学史料，追溯数概念本源

一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅根据它最终形式化、结构化的表述，普通人很难深入把握其确切的本质意义，只有将之与其产生时复杂、反复、抽象的历史过程予以关联、融合，才更容易被后来的学习者调动起全部的经验积累，支撑他们建构概念的全部含义[2]。克莱因曾经指出：“数学史是教学的指南。”HPM视角下的数学教学需要还原复现被教材剥离的“人文元素”，引领学生将新知置于宏大的历史背景中予以考量，站在历史的角度看待数学知识、思想与方法的发生、发展全程，将知识的历史序、逻辑序及儿童的认知序高度融合，由此实现对知识本质意义与核心问题的深层次理解[3]。作为跟人类生产实践、生活与认知需要密切相关的数概念，尤其需要高度关联与之相关的时代背景、历史根源，在追溯本源、聚焦本质的建构过程中实现对数学知识的结构化理解。

如苏教版《数学》二年级下册“认识万以内的数”的拓展提升课教学。在学生基于直观模型初步认识、理解数位及十进位值制记数法的基础上，融入我国古人的算筹记数法，在探究过程中，再度推进对十进位值制基本内涵与数学价值的理解。首先，教师引导学生了解我国古代的算筹记数方法，探究发现其中蕴含的基本规律。教学时，教师利用视频、结合算筹图片（如图1），介绍我国古人是怎样利用算筹记数的，同时以数字12的算筹摆法为例引导学生思考算筹记数存在横式、纵式两种形式的内在原因，并以此为基础，读懂教师给定的算筹图片所表示的数字及摆法，为从算筹记数法的了解转向现代记数法的学习预埋伏笔。

接下来，给予学生充分的时间与空间，让他们以小棒代替算筹用算筹记数法摆出678、4444等数字（如图2），在作品展示、交流摆法的过程中进一步深化对算筹记数法的认识，同时将之与现代的记数法关联对比，进而发现两者都采用了“十进位值制”，都是在利用不同数位表示个、十、百、千等，区别在于表示各数位计数单位个数的形式不一样，前者采用的是算筹，后者采用的是阿拉伯数字，较前者更简洁、更方便。在上述探究学习过程中，学生追溯现在所学知识的前世和本源，在深化概念认识、丰富认知结构的同时，体会到数学是求真至简与数学家接力研究的结晶，感受到数学是不断前进、不断发展的。

用于与新知联结的数学史不一定贯穿课堂始终，亦可结合实际教学需求，将数学史料融接于某一教学环节，以便学生更好地厘清概念的来龙去脉与本质所在，使他们在“知其所以然”认知层级上获得更为全面、深刻的认识与理解。如苏教版《数学》三年级下册“小数的初步认识”。教学时，教师首先出示用不同面值的人民币表示的某种商品单价的图片，让学生用小数表示商品的单价，接着以问题“这种商品的价钱不是整数元，怎么办呢”适时介入，告诉学生其实前人也遇到过类似的问题，那他们又是如何解决的，顺势引出不同国家、不同时期对非整数元的表达方式（如图3）。学生逐一解读各自的表达方法，初步感受这些方法虽有所不同，但都是用相应的符号将整数元部分与非整数元部分分隔开来[4]。然后，带领学生以14世纪中国小朋友的身份穿越到1427年的阿拉伯等国家，看能否真正读懂其表达方式所蕴含的意义，让学生体会到统一分界号的必要性与必然性。最后，融入小数点产生的史料，由此了解到小数点是由德国数学家克拉维斯在其著作《星盘》一书中率先提出来的。基于此，引领学生深刻感悟到一个不起眼的小数点，却经历了从无到有、从繁到简的漫长、曲折的过程，进而将学生探究从简单了解转向深入理解。

教师带领学生经历数概念演