辽宁省2023-2024学年高三上学期数学期末试题汇编：数列.docxVIP

辽宁省2023--2024学年上学期高三数学期末试题汇编：数列

一、单选题

1．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄.男性延迟退休的年龄情况如表所示：

出生年份

1961年

1962年

1963年

1964年

1965年

1966年

退休年龄

60岁

60岁+2月

60岁+4月

60岁+6月

60岁+8月

60岁+10月

若退休年龄与出生年份满足一个等差数列，则1981年出生的员工退休年龄为（????）

A．63岁 B．62岁+10月 C．63岁+2月 D．63岁+4月

2．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知为等比数列，且，则（????）

A．216 B．108 C．72 D．36

二、多选题

3．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知，均是由自然数构成的数列，且，，，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

4．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为.

5．（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为.

（参考数据：）

四、解答题

6．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知数列满足：.设.

(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；

(2)求数列的前项和.

7．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）在正项等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，证明：.

8．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前29项和.

9．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）记正项数列的前n项和为，，．

①；②；③．从以上三个条件中选择一个解决下面问题．

(1)求的通项公式；

(2)若求数列的前项和．

10．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）记数列的前项和为，数列的前项和为.已知，.

(1)求的通项公式；

(2)求证：.

参考答案：

1．D

【分析】构造等差数列，解决该问题.

【详解】因为退休年龄与出生年份满足一个等差数列，由题意可知：

，，所以.

故选：D

2．A

【分析】

根据等比数列通项公式列式计算即可求.

【详解】

设等比数列的公比为，

由题意，

所以.

故选：A

3．ACD

【分析】由题意，判断出的取值范围，进而得出数列的通项公式，依次判断选项.

【详解】由，得，

又，故，

得，即，

记表示不大于的最大整数，

因为，所以，故，则，A正确；

若，则，，

故，所以，即，B不正确.

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，.

故，C正确.

，

则，D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：解题的关键在于判断出的取值范围，求得数列的通项公式.

4．458

【分析】由已知求出数列的通项与前项和，数列的前30项的和为，求值即可.

【详解】数列是首项为25，公差为的等差数列，

则有，数列的前项和，

若，则且，

数列的前30项的和

.

故答案为：458

5．5

【分析】根据题意求出第次操作后去掉的各区间长度之和，列不等式结合所给参考数据即可得.

【详解】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，

第次操作，去掉的线段长度为，

，则，

由的最大值为5.

故答案为：5

6．(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）结合题意构造出，可得数列为等比数列，即可得的通项公式；

（2）由的通项公式得到，结合已知得到，即可得数列的前项和.

【详解】（1）由题意可知：，

，

故，

得，

故是以为首项，为公比的等比数列，

且，故；

（2）由（1）知，，即，

由题意知：，故，

故数列的前项和

.

7．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列基本量运算得解；

（2）由（1），再根据等比数列前n项和公式求解.

【详解】（1）设的公差为d，则，

解得或（舍去），

故.

（2）证明：由（1）可知，

则.

8．(1)

(2)

【分析】（1）构造数列化简原式，再根据的关系求解即可；

（2）由（1）代入