数学归纳法（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）.pptxVIP

像这样，由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法。;复习归纳法：;可从简单情形出发;其中道理可用于数学证明──数学归纳法.;;这种一种严格的证明方法──数学归纳法.;(归纳奠基）;例1.用数学归纳法证明;即当n=k+1时等式也成立.;即n=k+1时等式成立.

所以等式对一切自然数均成立.;结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.;问题2：乙同学用数学归纳法证明

如采用下面证法，对吗？为什么？;例1:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N）.;C;B;1.验证是基础

找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.

2．递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.;[跟踪训练]

（1）用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．

解析：∵210＝1024＞103,29＝512＜93，

∴n0最小应为10.

答案：10;1．数学归纳法的证明形式

记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：(1)为真；(2)若(k∈N*，k≥n0)为真，则也为真．

结论：为真．;2(2k＋1);归纳—猜想—证明;用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：

(1)先凑假设，作等价变换；

(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.;由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，

故当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．

;故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k

＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，

即当n＝k＋1时，命题也成立．

根据(1)(2)知，n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．

;1.数学归纳法的一般步骤：;2.应用数学归纳法要注意以下几点：

（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的.

（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法.

（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数.

（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法.