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2024年上海市高考数学试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分.其中第1-6题每题4分,第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1.设全集,集合,则______.
2.已知则______.
3.已知则不等式的解集为______.
4.已知,,且是奇函数,则______.
5.已知,且,则的值为______.
6.在的二项展开式中,若各项系数和为32,则项的系数为______.
7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9,那么点到轴的距离为______.
8.某校举办科学竞技比赛,有3种题库,题库有5000道题,题库有4000道题,题库有3000道题.小申已完成所有题,他题库的正确率是0.92,题库的正确率是0.86,题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是______.
9.已知虚数,其实部为1,且,则实数为______.
10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,求集合中元素个数的最大值______.
11.已知点B在点C正北方向,点D在点C的正东方向,,存在点A满足,则______(精确到0.1度)
12.无穷等比数列满足首项,记,若对任意正整数集合是闭区间,则的取值范围是______.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,其中第13-14题每题满分4分,第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
13.已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
14.下列函数的最小正周期是的是()
A. B.
C. D.
15.定义一个集合,集合中的元素是空间内的点集,任取,存在不全为0的实数,使得.已知,则的充分条件是()
A B.
C. D.
16.已知函数定义域为R,定义集合,在使得的所有中,下列成立的是()
A.存在是偶函数 B.存在在处取最大值
C.存在是严格增函数 D.存在在处取到极小值
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.如图为正四棱锥为底面的中心.
(1)若,求绕旋转一周形成的几何体的体积;
(2)若为的中点,求直线与平面所成角的大小.
18.若.
(1)过,求的解集;
(2)存在使得成等差数列,求的取值范围.
19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
时间范围
学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少?
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?
(附:其中,.)
20.已知双曲线左右顶点分别为,过点直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时,求的值.
(2)若为等腰三角形时,且点在第一象限,求点的坐标.
(3)连接并延长,交双曲线于点,若,求的取值范围.
21.对于一个函数和一个点,令,若是取到最小值的点,则称是在的“最近点”.
(1)对于,求证:对于点,存在点,使得点是在的“最近点”;
(2)对于,请判断是否存在一个点,它是在的“最近点”,且直线与在点处的切线垂直;
(3)已知在定义域R上存在导函数,且函数在定义域R上恒正,设点,.若对任意的,存在点同时是在的“最近点”,试判断的单调性.
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