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§3.6优化问题与规划模型
与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。
解决优化问题形成管理科学的数学方法:运筹学。运筹学主要
分支:(非)线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队
伦、对策论、决策论。
6.1线性规划
1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学
问题》
1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一
般模型及理论.
1.问题
例1作物种植安排
一个农场有50亩土地,20个劳动力,计划种蔬菜,棉花和水稻.
种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/21/31/4,预计每亩产
值分别为110元,75元,60元.如何规划经营使经济效益最大.
分析:以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标.
1.求什么?分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻?x亩、x亩、
12
x亩
3
2.优化什么?产值最大maxf=10x+75x+60x
123
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3.限制条件?田地总量x+x+x50劳力总数
123
1/2x+1/3x+1/4x20
123
模型I:设决策变量:种植蔬菜x亩,棉花x亩,水稻x亩,
123
求目标函数f=110x+75x+60x
123
在约束条件x+x+x501/2x+1/3x+1/4x20下的最大值
123123
规划问题:求目标函数在约束条件下的最值,
规划问题包含3个组成要素:决策变量、目标函数、约束条件。
当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时,称为线性规划问
题,否则称为非线性规划问题。
2.线性规划问题求解方法
称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域,
称使目标函数达最值的可行解为最优解.
命题1线性规划问题的可行解集是凸集.
因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的
可行解集是平面上的凸多边形。
命题2线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到.
图解法:解两个变量的线性规划问题,在平面上画出可行域,计算目
标函数在各极点处的值,经比较后,取最值点为最优解。
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命题3当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时,构
成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。
于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的
凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。
单纯形法:经过确定约束方程组的基本解,并计算相应目标函数值,
在可行解集的极点中搜寻最优解.
正则模型:
决策变量:x,x,…,x.目标函数:Z=cx+cx+…+cx.
12n1122nn
约束条件:ax+…+ax≤b,……a
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