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核心概念统整下的数与运算一致性教学探索

摘要培养学生核心素养是新一轮课程改革的重要目标。小学数学数与运算主题是培养学生核心素养的重要知识载体。小学阶段数与运算一致地表现为计数单位及个数多少的表达。以核心概念统领数与运算的教学，帮助学生建立计数单位的概念，建立数与运算的认知结构；紧扣核心概念设计基本问题，实施一致性教学，帮助学生用结构化的知识形成结构化的思维和方法，是数与运算一致性教学的一般路径。

关键词核心概念；数与运算；一致性；计数单位

数与运算是义务教育小学数学数与代数领域的知识，是小学数学最基本、最核心的内容之一，一直以来备受一线教师关注。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）确立了核心素养导向的课程目标，强调通过教学内容结构化整合发展学生核心素养。在数与代数领域将这一路径具体化为“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”[1]。如何将《课程标准》倡导的教学理念和教学方式落实到数与运算课堂教学中，是新一轮小学数学课程改革的重头戏。教学实践表明，以核心概念统整达成数与运算教学的一致性是培养学生的数感、符号意识、运算能力和推理意识的基本路径。

一、整体认识数与运算的一致性

义务教育小学数学课程的数与运算主题内容包括整数、小数和分数及相应的四则运算。开展数与运算的一致性教学，我们首先要厘清整数、小数和分数三个数概念的一致性，整数、小数和分数的四则运算的一致性，以及整数、小数和分数与运算的一致性。

1.数概念的一致性

整数、小数和分数的表现形式各不相同，不同形式背后却有着相同的本质。它们都是人们在生产和生活中用来表示物体个数的符号。人们最初“一个一个”数数，后来按“群”计数，产生了自然数的计数单位“一、十、百、千……”；随着生产和生活的需要，人们通过单位“1”的等分产生了新的、更小的小数和分数的计数单位：“十分之一、百分之一、二分之一、三分之一……”从这个角度讲整数是计数单位不断累加的结果，是宏观的计数；分数和小数是计数单位不断细分所致，是微观的计数。小数和分数是数概念发展的两个不同方向，它们以整数为基础共同构成了完备的小学数学数概念知识结构。我们用有限的10个数字表达无限的“宏观”或“微观”的数，依赖于计数单位、数位、位值制、十进制等基本概念的支撑，对数的多元表征都一致地表达了计数单位个数的多少（见表1）。

2.四则运算的一致性

义务教育小学数学的四则运算包括整数四则运算、小数四则运算和分数四则运算。不论是四则运算的意义还是算理，整数、小数和分数都体现出高度的一致性。

（1）四则运算意义的一致性。教科书是教学内容及其结构的载体，它体现了学科知识的科学性和学科结构的严谨性。各个版本的小学数学教科书对四则运算的编排都一致地表现为先分段学习整数四则运算及其相互关系，再推广到小数和分数，因此整数、小数和分数四则运算的意义是完全一致的（如图1）。

整数、小数和分数的四则运算都是以加法为基础的计数单位及其个数的变化：加法是计数单位的增加，减法是计数单位的减少，乘法是计数单位的倍增，除法是计数单位的细分。

（2）四则运算算理的一致性。整数、小数和分数四则运算的算法各不相同，不同算法背后却是相同算理的支撑：整数、小数和分数加减法中的相同数位对齐、小数点对齐、同分母分数分母不变分子相加减、异分母分数通分后再加减，其背后的算理都是相同计数单位个数的加减。整数、小数和分数乘除法算理的一致性如图2。

3.数与运算的一致性

通过上面的分析我们可以清楚地知道，数是对计数单位及其个数的表达，四则运算则是计数单位及其个数的增减变化，二者的研究对象是一致的。从其内部的逻辑联系上看，数是运算的对象和基础，没有数也就不会有相关的运算，四则运算是数概念的具体化和发展。数的组成是数与运算的纽带，如根据2和5组成7，可以计算2+5=7；同时数的运算又是对数概念的巩固，如45-7，先算15-7=8，再算30+8=38，把45分成了30和15，是对数结构的再认识。因此，不要孤立地看待数与运算，应根据事物普遍联系的辩证唯物主义观点，将数与运算纳入同一学习任务的不同侧面，它们是不可分割的有机整体。

二、以计数单位统领数与运算的教学

布鲁纳指出，要“给予那些和基础课有关的普遍的和强有力的观念和态度以中心地位”[2]。在数学教学中“将基本概念、基本规律和基本原理等核心内容置于教学的中心地位”[3]是新一轮课程改革的价值取向和共同追求。数与运算的核心是计数单位，因此，要切实树立起计数单位的核心地位，引导学生深刻理解并掌握计数单位的概念，建立起概念间互相融通的复杂认知结构。

1.突出计数单位在数与运算中的核心地位

从数与运算的一致性可以知