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“去方程化”的分数应用题教学探究

摘要分数应用题是小学数学的难点，现有教材中大量借助方程处理分数中的复杂数量关系。《义务教育数学课程标准（2022年版）》将方程内容从小学移出后，亟需形成“去方程化”的分数应用题教学变革。分析现有教材的变迁、对比国外教材，可以发现方程并不是分数应用题教学的必要条件。在不借助方程时，首先通过“量”和“率”的分类讨论，把握分数应用题和整数应用题的迁移联系；进一步通过构建数量关系结构，明晰分数问题中加减乘除列式的算术意义；最后通过比、分数、除法之间的大单元联系，实现分数应用题的整体教学。

关键词小学数学；分数应用题；方程；“去方程化”

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，方程是小学数学的重要内容。因此，现有教材编排中把方程作为解答分数应用题的重要方式，并取得一定成效。而《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》）将方程内容从小学调整到初中学段。史宁中教授解释了调整的原因：在小学阶段没有涉及到方程的本质，也没有感知方程的必要性。方程作为解决问题的重要方式，调整出小学阶段后，影响较大的是应用题的教学，其中以分数应用题尤甚。不借助方程，如何突破这一教学难点？本文依托人教版、北师大版、青岛版数学教材中的部分题目，将原有的方程思路调整为算术思路，着重讨论“去方程化”的分数应用题教学方式，为新课标修订后的分数应用题教学提供参考。

一、方程在分数应用题中的教学现状

1.现有教材中的分数应用题教学充分发挥了方程的优势

现有教材编排中分数加减法问题、正向思维为主的分数乘法问题以算术列式为主，逆向思维为主的分数除法问题以列方程为主。以人教版教材“分数除法”单元为例，单位“1”未知的例题出现了4次，只有1次采用了算术列式，其余均采用方程列式。而北师大版教材和青岛版教材中，对单位“1”未知的分数除法问题全部采用方程列式。

正是因为这些优势，把方程引入小学，实现算术思维到代数思维的过渡，一度被看作是新课改的重要成果，也在一定程度上降低了分数应用题的难度。上海杨浦区曾做过对比分析，对63所学校9574名学生进行解分数应用题能力测试，平均成绩达88.8分，高于使用老教材的对照学校10分以上[1]。

2.国外教材中的分数应用题教学并未将方程作为必要条件

然而，列方程解分数应用题并不是所有版本教材的共识。如美国加州版数学教材中的分数应用题例题并没有出现列方程思路，而是综合运用多种问题解决方法，如分析法、作图法和转换法等。其实，美国的数学教材在四年级便引导学生“用字母、计算符号去表示代数式和方程”[2]，但在五、六年级教材中方程并没有成为解分数应用题的思路。加州版教材主要通過情境设计简化数量关系的分析过程，通过辅助图示直观理解，通过螺旋式编排对同一种题型反复学习以降低难度。这些措施是分数教学的重要思路，也说明方程不是分数应用题教学的必要条件。

3.课堂中的分数应用题教学坚持方程和算术并重

方程在国内小学数学教材中的编排方式曾多次调整，方程概念从无到有，方程解法也不断发生变化。早期曾借助四则运算关系解方程，自从2001年课改后，教学中开始运用天平的平衡原理和等式性质解方程，其优点是直观形象，符合小学生的认知特点[3]，但缺点是解方程步骤比较繁琐。正因为方程概念和解法在小学一直不够完善，在解决问题时，一线教师并不完全依赖方程，而是算术方法和方程并重。

在课改之初的2008年，洪婷对“执教分数应用题时，你更喜欢什么方法？”这一问题的调查数据显示，算术方法仍然有很大的受众，其中一线教师喜欢方程思路的占比49.6%，喜欢算术方法的占比50.4%[4]。2011年后，随着现行教材的使用，方程解题思路受欢迎程度增加，但算术方法仍在不断探究，比如一线教学中广泛通过单位“1”的分析来辨别是用分数乘法还是分数除法[5]。所以，目前的分数应用题教学中，教材虽推崇方程思路，一线教师也往往补充算术思路以供学生参考。

整体来看，方程调整出小学阶段后，对学生而言，需要直面分数问题中的逆向数量关系；对教师而言，需要着重建构分数除法的数量关系模型，以便形成算术列式基础，这是《2022年版课标》出台后分数应用题教学面临的重要挑战。

二、分数应用题学习中的主要障碍

学生在运用分数解决问题时往往会遇到诸多障碍，主要包括理解题意时的阅读障碍、知识关联时的迁移障碍、分析数量关系时的结构障碍、具体求解中的计算障碍等。无论是否引入方程，这些障碍都会在一定程度上存在。

1.阅读障碍：分数在生活中所见不多

2.迁移障碍：整数应用题的经验无法直接迁移

数的扩充是一个不断迁移的过程，教师应引导学生把握整数、小数、分数之间的迁移联系，在“原数”的基础上学习“新数”，提高认知效率。整数应用题中的思维方式对小数应用题以正迁移为主，而对分数应用题学习