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未知驱动探索,专注成就专业
线性代数第二版答案
第一章:线性方程组
1.1线性方程组的定义和解
1.1.1线性方程组的定义
线性方程组由一组线性方程组成,每个方程表示为:
其中i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
1.1.2线性方程组的解
线性方程组的解是满足方程组中所有方程的解集。线性方
程组有三种可能的解:
1.无解:线性方程组无解的情况。
2.唯一解:线性方程组存在且只有一个解的情况。
3.无穷解:线性方程组存在无限个解的情况。
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1.2线性方程组的矩阵表示
1.2.1线性方程组的矩阵形式
线性方程组可以用矩阵的形式表示:
其中,
是系数矩阵,
是未知数向量,
是常数向量。
1.2.2线性方程组的增广矩阵
线性方程组的增广矩阵是将系数矩阵和常数向量合并构成
的矩阵:
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1.3线性方程组的解的等价性
1.3.1所有线性方程组等价于其增广矩阵的线性方程组
给定一个线性方程组和其对应的增广矩阵,两者的解集是
等价的。
1.3.2线性方程组等价的条件
若两个线性方程组有相同的解,则称它们是等价的。两个
线性方程组等价的条件为:
1.系数矩阵经过初等行变换得到的矩阵相等。
2.增广矩阵经过一系列的初等行变换得到的矩阵相等。
1.4初等行变换和线性方程组的解
1.4.1互换两行
互换线性方程组中的两个方程,不改变线性方程组的解。
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1.4.2用非零常数乘以某一行
用非零常数乘以线性方程组中的某个方程,不改变线性方
程组的解。
1.4.3用某一行的倍数加到另一行
用某一行的倍数加到另一行,不改变线性方程组的解。
1.4.4高斯消元法
高斯消元法是一种通过初等行变换将线性方程组的增广矩
阵化为行阶梯矩阵的方法,从而求出线性方程组的解。
1.5线性方程组解的存在性与唯一性
1.5.1齐次线性方程组的解的存在性与唯一性
齐次线性方程组一定有解,且解的个数等于未知数的个数
减去系数矩阵的秩。
1.5.2非齐次线性方程组的解的存在性与唯一性
非齐次线性方程组存在解的充要条件是常数向量属于系数
矩阵列向量生成的列空间。
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第二章:矩阵及其运算
2.1矩阵和向量的基本概念
2.1.1矩阵的定义
矩阵是一个有限个数的数按矩形排列所组成的一个数组。
2.1.2向量的定义
向量是一个有序数组成的单行矩阵或单列矩阵。
2.2矩阵的运算
2.2.1矩阵的加法
给定两个矩阵A和B,它们的和为一个同型矩阵C,其中C
的每个元素等于A和B对应元素的和。
2.2.2矩阵的数乘
给定一个矩阵A和一个标量k,将A中的每个元素乘以k,
得到一个新的矩阵B。
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2.2.3矩阵的乘法
给定两个矩阵A和B,它们的乘积为一个新的矩阵C,其中
C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素
相乘后的和。矩阵乘法要求A的列数等于B的行数。
2.3矩阵的转置、方阵和对角矩阵
2.3.1矩阵的转置
给定一个矩阵A,将A的行变为列,列变为行,得到一个
新的
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