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第二章导数与微分
练习题及习题详细解答
练习题2.1
1．质点作直线运动的方程为，求该质点在时的瞬时速度．
解由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度．代入，得．
2．求曲线在点处的切线方程和法线方程．
解由导数的几何意义知，曲线在点切线的斜率
，
所以，切线方程为，即．
法线方程为，即．
3．讨论函数在和处的连续性与可导性．
解在处，，，
由于，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导．
在处，，，，
所以连续．
又，
，
所以可导．
4．函数在点处可导，且，求以下极限：
；
解〔1〕;
(2)．
5．求抛物线上平行于直线的切线方程．
解由于切线平行于，所以斜率为．又，所以．
对应于抛物线上的点为，所以切线方程为，即．
练习题2.2
1．求以下函数的导数：
〔1〕；〔2〕；
〔3〕；〔4〕；
〔5〕；〔6〕；
〔7〕；〔8〕；
〔9〕；〔10〕．
解〔1〕；
〔2〕；
〔3〕；
〔4〕；
〔5〕；
〔6〕；〔7〕；
〔8〕；
〔9〕；
〔10〕．
2．设，求．
解对于两边取对数，得
两边对求导，得
所以
3．求曲线上，点处的切线方程．
解点对应参数的值为0．
设为曲线上对应点的切线斜率，那么
，
于是，所求切线方程为
，即轴．
4．求由方程所确定的隐函数的导数．
解方程两边对求导，可得
由上式解出，便得隐函数的导数为
〔〕．
练习题2.3
1．求以下函数的微分：
〔1〕；〔2〕；
〔3〕；〔4〕；
〔5〕；〔6〕；
〔7〕；〔8〕．
解〔1〕；
〔2〕；
〔3〕；
〔4〕；
〔5〕；
〔6〕；
〔7〕；
〔8〕．
2．填空．
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
解〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．
3．求的近似值．
解由于，故令，并取，．
因为，．
所以．
4．半径为的圆盘，当半径改变时，其面积大约改变多少？
解圆盘面积函数为，并取，．
因为
所以面积改变量
．
习题二
1．如果函数在点可导，求：
〔1〕；〔2〕．
解〔1〕；
〔2〕
2．求函数在点处的切线方程和法线方程．
解由导数的几何意义，得
，．
所以，切线方程为
即
．
法线方程为
即
．
3．设，试确定的值，使在处可导．
解假设在处可导，那么必在处连续．
，，
，即．
又，
所以，．
4．求以下各函数的导数：
〔1〕；〔2〕；
〔3〕；〔4〕．
解〔1〕；
〔2〕；
〔3〕；
〔4〕
．
5．求以下函数的导数：
〔1〕；〔2〕；
〔3〕；〔4〕；
〔5〕；〔6〕；
〔7〕；〔8〕．
解〔1〕；
〔2〕；
〔3〕；
〔4〕；
〔5〕，；
〔6〕；
〔7〕;
〔8〕
．
6．假设以的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为时，它的外表积增加的有多快？
解设气球的体积为,半径为，外表积为，那么，．
，，
,
将，代入得，．
7．求以下函数的高阶导数：
〔1〕，求；〔2〕，求．
解〔1〕，
，
．
〔2〕，
，．
8．求由以下方程所确定的隐函数的导数：
〔1〕；〔2〕．
解〔1〕方程两边对求导，得
，
从中解出，得
．
〔2〕方程两边对求导，得
，
从中解出，得
．
9．用对数求导法求以下各函数的导数：
〔1〕；〔2〕．
解〔1〕方程两边取对数，得
，
两边对求导，得
，
即
．
〔2〕方程两边取对数，得
两边对求导，得
，
即
．
10．求由以下各参数方程所确定的函数的导数：
〔1〕；〔2〕，求．
解〔1〕；
〔2〕，
．
11．求以下函数的微分：
〔1〕；〔2〕；
〔3〕；〔4〕．
解〔1〕；
〔2〕
〔3〕方程两边同时取微分，得
，
，
整理得
．
〔4〕方程两边同时取微分，得
，
整理得
．
12．利用微分求近似值：
〔1〕；
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