4.3.1平面图形的面积.pptx

第四章定积分4.3.1平面图形的面积

定积分的几何意义（1）当f(x)≥0时，表达的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x)＜0时，y=f(x)与x=a,y=b和x轴所围曲边梯形的面积为复习回想

-∏∏1-1yxo例1.求如图所示阴影部分图形的面积。分析：图形中阴影部分的面积由两个部分构成；一部分是x轴上方的图形的面积（记为s1）;另一部分是x轴下方图形的面积（记为s2）.根据图像的性质：s1=s2.因此，所求阴影部分的面积是4..例题分析y=sinx

yxo思考：

求以下图形中阴影部分面积y=sinx

例2.求抛物线y=x与直线y=2x所围成平面图形的面积。2o2x4y求出曲线y=与直线y=2x的交点为（0，0）和（2，4）。设所求图形的面积为S，根据图像可以看出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成平面图形的面积（设为S1）减去抛物线y=，直线x=2以及x轴所围成的图形的面积（设为S2）。解:画出抛物线y=与直线y=2x所围成的平面图形，如图所示。

∵

小结：求平面图形的面积的普通环节（1）根据题意画出图形；（2）找出范畴，拟定积分上、下限；（3）拟定被积函数；（4）写出对应的定积分体现式；（5）用微积分基本定理计算定积分，求出成果。

抽象概括：普通地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成的平面图形（如图1）的面积S，则yxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s图1图2图3想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？

例3.求曲线x=和直线y=x-2所围成的图形的面积。x=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=解：阴影部分面积S=S1+S2.S1由y=，y=-，x=1围成：S2由y=，y=x-2，x=1围成：

解两曲线的交点oxy

解:求两曲线的交点:

于是所求面积阐明：注意各积分区间上被积函数的形式．

求在直角坐标系下平面图形的面积环节:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.拟定被积函数，用定积分表达所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.