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高职高等数学教材答案

第一章：函数与极限

1.函数与映射

函数的定义：函数是一个数集到另一个数集的映射关系，每个自

变量对应唯一的因变量。

映射的表示：可以通过映射图、函数表、解析式等多种方式来表

示函数。

元素的分类：自变量属于定义域，因变量属于值域。

2.极限与连续

极限的概念：当自变量趋近于某一值时，函数对应的因变量也趋

近于一个确定的值。

极限的性质：极限存在且唯一，可以通过代入法、夹逼定理等方

法进行求解。

连续的定义：函数在某一点连续，即该点的函数值与极限值相等。

3.导数与微分

导数的定义：描述函数在某一点的变化速率，也可以理解为切线

的斜率。

导数的计算：可以使用导数定义、导数的性质、基本函数导数法

则等进行计算。

微分的定义：微分等于函数在某一点的导数与自变量的增量的乘

积。

4.微分中值定理与泰勒公式

中值定理的概念：描述函数在某一区间内的平均变化率与瞬时变

化率相等的情况。

中值定理的类型：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数以及高阶导数来逼近函

数的方法。

第二章：数列与级数

1.数列与数列极限

数列的定义：按照一定规律排列的一组数。

数列极限的概念：当数列项无限逼近某个确定的值时，称该值为

数列的极限。

数列极限的性质：数列极限存在则唯一，可以使用夹逼定理等方

法进行求解。

2.级数与级数的收敛性

级数的定义：将数列中的各项相加得到的无穷和。

级数的收敛性概念：当无穷项级数的部分和无限逼近某个确定的

值时，称该级数为收敛的。

收敛级数的性质：收敛级数的部分和有界，可以使用比较判别法、

比值判别法等进行求解。

3.幂级数与函数展开

幂级数的定义：一种特殊的级数形式，以自变量的幂次递增排列。

幂级数的收敛域：幂级数在收敛域内可以展开成函数的形式。

函数展开的应用：通过幂级数展开可以对函数进行逼近计算。

第三章：微分学应用

1.函数的极值与最值

极值的定义：函数在某一点的导数为零或不存在时，称该点为极

值点。

极值的判断：可以使用二阶导数判别法、端点判别法等进行判断。

最值的定义：函数在定义域内的最大值或最小值。

2.函数的图形与曲率

函数的凸凹性：描述函数图像的弯曲程度，可以通过二阶导数进

行判断。

函数的曲率：描述函数图像弯曲程度的大小，可以通过计算曲率

半径进行求解。

3.泰勒公式与近似计算

泰勒公式的应用：可以通过泰勒公式对函数进行近似计算。

泰勒展开的误差估计：可以使用拉格朗日余项进行误差估计。

第四章：定积分与不定积分

1.定积分的概念与性质

定积分的定义：描述曲线与坐标轴之间的面积或求和的概念。

定积分的计算：可以使用定积分的性质、分部积分法等进行计算。

定积分的几何应用：可以计算曲线下的面积、旋转体的体积等。

2.不定积分的概念及基本性质

不定积分的定义：描述函数的反导函数，即求导运算的逆运算。

不定积分的计算：可以使用不定积分的基本公式、换元法等进行

计算。

3.积分中值定理与应用

积分中值定理的概念：描述函数在一个区间内的平均值与瞬时值

相等的情况。

积分中值定理的类型：柯西中值定理、罗尔中值定理等。

积分的应用：可以计算弧长、质量、重心等物理量。

更多的内容请参考高职高等数学教材，本文只是对教材内容的简要

概述。