2024年普通高等学校招生全国通统一考试数学模拟试题（一）（附答案解析）.docx

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2024年普通高等学校招生全国通统一考试数学模拟试题（一）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则（????）

A． B． C． D．

2．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（????）

A． B．

C． D．

3．若，则的值为（????）

A． B． C． D．

4．在中，，则（????）

A． B．

C． D．

5．研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（????）

??

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左?右焦点分别为，点在轴上，且的内心坐标为，若线段上靠近点的三等分点恰好在上，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．在三棱锥中，为的中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（???）

A．

B．样本质量指标值的平均数为75

C．样本质量指标值的众数小于其平均数

D．样本质量指标值的第75百分位数为85

10．已知正方体的棱长为为的中点，为线段上一动点，则（????）

A．异面直线与所成角为

B．平面

C．平面平面

D．三棱锥的体积为定值

11．已知函数及其导函数，且，若，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为.

13．2024年春耕期间，某农业局将含甲?乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲?乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有种.（用数字作答）

14．已知抛物线，点在的准线上，过的焦点的直线与相交于两点，则的最小值为，若为等边三角形，则.

四、解答题

15．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的极值.

16．如图，在多面体中，四边形为菱形，四边形为矩形，且，是线段上的一个动点，且.

(1)试探究当为何值时，∥平面，并给出证明；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

17．2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛

(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.

（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；

（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.

18．已知的其中两个顶点为，点为的重心，边，上的两条中线的长度之和为，记点的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)过点作斜率存在且不为0的直线与相交于两点，过原点且与直线垂直的直线与相交于两点，记四边形的面积为S，求的取值范围.

19．设有穷数列的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列满足下列两个条件，则称其为阶“数列”：①；②.

(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列，求；

(2)若阶“数列”是等比数列，求的通项公式（，用表示）；

(3)设阶“数列”的前项和为，若，使得，证明：数列不可能为阶“1数列”.

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