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高数知识点总结(上册).doc
高等数学知识点总结(上册)
第一章:函数、极限与连续性
1.1函数
定义:变量之间的依赖关系。
性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性。
1.2极限
定义:函数在某一点或无穷远处的趋势。
性质:唯一性、局部有界性、保号性。
1.3无穷小与无穷大
无穷小:当自变量趋于某一值时,函数值趋于零。
无穷大:函数值趋于无限。
1.4连续性
定义:在某点的极限值等于函数值。
性质:连续函数的四则运算结果仍连续。
第二章:导数与微分
2.1导数
定义:函数在某一点的切线斜率。
几何意义:曲线在某点的瞬时速度。
2.2基本导数公式
幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
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2.3高阶导数
定义:导数的导数,用于描述函数的凹凸性。
2.4微分
定义:函数在某点的线性主部。
第三章:导数的应用
3.1切线与法线
几何意义:曲线在某点的切线和法线方程。
3.2单调性与极值
单调性:导数的符号与函数的增减性。
极值:导数为零的点可能是极大值或极小值。
3.3曲线的凹凸性与拐点
凹凸性:二阶导数的符号。
拐点:凹凸性改变的点。
第四章:不定积分
4.1不定积分的概念
定义:原函数,即导数等于给定函数的函数。
4.2基本积分公式
幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。
4.3积分技巧
换元积分法:凑微分法、代换法。
分部积分法:适用于积分中存在乘积形式的函数。
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第五章:定积分
5.1定积分的概念
定义:在区间上的积分,表示曲线与x轴围成的面积。
5.2定积分的性质
线性:可加性、可乘性。
区间可加性:积分区间的可加性。
5.3定积分的计算
数值计算:利用微积分基本定理计算定积分。
5.4定积分的应用
面积计算:曲线与x轴围成的面积。
物理意义:质量、功、平均值等。
第六章:多元函数微分学
6.1多元函数的极限与连续性
定义:多元函数在某点的极限和连续性。
6.2偏导数与全微分
偏导数:多元函数对某一变量的局部变化率。
全微分:多元函数的微分。
6.3多元函数的极值
定义:多元函数在某点的最大值或最小值。
6.4条件极值
拉格朗日乘数法:求解多元函数的条件极值。
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第七章:常微分方程
7.1一阶微分方程
可分离变量方程:变量可分离的微分方程。
一阶线性微分方程:线性形式的一阶微分方程。
7.2高阶微分方程
二阶微分方程:具有二阶导数的微分方程。
7.3微分方程的应用
物理模型:微分方程在物理问题中的应用。
结语
总结本学期高等数学上册的学习内容,强调数学思维的重要性和数学
工具的应用价值。
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