高等数学 概率统计 线性代数学习方法.pdfVIP

高数

高等数学的学习主要是把握住一条主线：先建立极限的概念，正是这

个关键性的概念实际上构筑了整个高等数学的根基，无论导数、微分

还是积分，都是一个无限的过程，无限是一个动态的过程，无限的引

入使得数学由初等数学的静态转入高等数学的动态过程——一个趋

势！只有这个观念转变过来，才能真正明白导数、微分、积分的真正

含义。要明白极限，最好的就是深刻理解描述极限动态过程的经典概

念：依普西龙-德儿塔语言，（很美很经典！）由极限概念入手，有了

无穷小的概念（这也是一个动态的概念），又由无穷小来得到极限的

各种性质，再用极限的观点研究函数，得到了重要的函数连续性和间

断点的观念，这是非常重要的，因为函数是否可导、可微、可积都与

函数是否连续有紧密联系，可微是一个奥妙的观念，是从分析学的角

度看待函数的一个观念，一个函数在某个点可微，意味着这个函数在

这一点可以用线性表达式进行近似表达（无论是一元还是多元函数），

而函数连续是可微的基础。因为后面的很多理论和讨论，都是基于函

数连续这个性质的，所以教科书中会用较大篇幅，详细讨论各种函数

的连续性，最后得出一个结论：基本初等函数在整个定义域内都是连

续的。导数的概念一定要从物理和数学两个角度来学习，从物理角度

来讲可以是瞬时速度，从数学角度来讲可以是切线的斜率，这样去理

解是至关重要的！正是从导数的数学角度的研究，我们才能理解微分

的概念，也能理解为什么导数叫做微商！这个概念建立起来以后，我

们才能去理解微积分的基本公式——牛顿-莱布尼茨公式和定积分的

实质，以及定积分和不定积分之间的关系。不定积分实质上是属于微

分学中的内容，是作为函数微分的逆运算引入的，而定积分则是属于

积分学中的内容，正是由牛顿-莱布尼茨公式在定积分和不定积分之

间建立起来一条关键联系，从整体上沟通了微分学和积分学，所以这

门学问统一称为微积分。上面其实已经谈到了很多问题：函数、极限、

连续、导数、微分、不定积分、定积分，这是微积分学的基本。不妨

自己经常问自己：什么样的函数是可以积分的，教科书给出的可积条

件是充分的还是充要的，为什么？复合函数为何是链式求导法则？变

上限函数的意义是什么？微分中值定理是如何建立局部和整体间的

关系的？导数为什么和极值有关系？微分为什么和导数有关系？求

定积分时，为什么积分号内除了积分上下限之外，就是一个函数的微

分表达式？泰勒公式的意义何在？书上给了一个公式和一个证明，你

能看懂证明，但你却不明白这个公式的内涵何在，泰勒当时怎么有思

路想出这个公式的？。。。这是最有意思的东西，能让你真正的去思考

一些问题，而不是仿照例题做一些题之后，却不知道为何要这样做，

根本不理解里面的内涵！如果学习了一通高等数学，就是为了应付考

试，那么就真的太可惜了！高等数学我学了数年，每次去看都有不同

的感受，这个时间值得花费，因为能让你学会思考问题。至于后面的

多元函数的连续性，多元函数的微分学和积分学，以及更靠后的曲线

积分、曲面积分比前面稍微复杂一些，例如导数就不再像一元的情况

下从数轴的左右两侧来讨论就可以了，多元情况下要从任意方向去讨

论，因此多元函数的连续、可导、可微的观念和一元是有较大差别的，

需要对照着学习，同时需要有向量的概念，需要知道微分法在几何上

的简单应用，需要用场论的入门观念思考问题（比如前面的梯度，后

面的格林公式和曲线积分和路径无关），但这些地方并不算太难。可

能就是计算空间曲线、曲面积分的时候会难做一点，因为要你根据题

目的特点，自己去设计坐标系的位置，从而简化运算得出结论。再往

后的无穷级数和微分方程内容表面看起来相对独立，但实际和前面也

是紧密联系在一起的，无穷级数要建立起整体思想，首先是收敛级数

的一般性质（注意无穷级数也是一个极限的概念，是一个过程和趋势，

我们得到的最终值是那个趋势的趋向值），然后具体研究数项级数，

数项级数再先研究最简单的情况正项级数，得到了结论后再通过对绝

对收敛和相对收敛的讨论，将正项级数研究中得到的结论，推广到非

正项级数的地方，这部分主要是要注意一下各种审敛方法，这些方法

的基础是比较审敛法，而比较审敛法的基础就是级数收敛的定义，这

样各种审敛法就建立在了一个坚实的基础上了！再就是研究函数项级

数，主要是研究了幂级数这种情况，这时就要研究收敛域、收敛半径

和和函数的问题了，幂级数最出彩的地方就是可以在收敛域内进行无

限次逐项求导和逐项积分运算，这样一下子把微分学和积分学的内容

深入引入到了级数的范畴内，大大丰富了我们研究级数和对付级数的

手段！最