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高阶导数降阶公式
11.4可降阶的高阶微分方程
有三种容易降阶的高阶方程：
11.4.1型的微分方程
（1）
方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）
式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方
程
.
同理可得.
依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。
例求微分方程的通解
解对所给方程接连积分三次，得
。
这就是所求的通解。
11.4.2型的微分方程
（2）
方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末
而方程就成为.
这是一个关于变量x,p的一阶微分方程。设其通解为。
但是，因此又得到一个一阶微分方程
对它进行积分，便得到方程（2）的通解为
。
例求微分方程
满足初始条件，
的特解。
解所给方程是型的。设y’=p，代入方程并分离变量后，有
.
两端积分，得,
即(),
由条件，得,
所以.
两端再积分，得
又由条件，得,
于是所求的特解为.
11.4.3型的微分方程
(3)
方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y’=p，并利用复
合函数的求导法则把化为对y的导数，即.
这样，方程（3）就成为。
这是一个关于变量y,p的一阶微分方程。设它的通解为
，
分离变量并积分，便得方程（3）的通解为
。
例求微分方程的通解。
解所给方程不明显地含自变量x，设
,则，
代入方程中，得。
在、时，约去p并分离变量，得。
两端积分，得，
即，或。
再分离变量并两端积分，便得方程的通解为，
或（）。
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