高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析).doc

【知识点分析】：

球的性质回顾

如右图所示：O为球心，O’为球O的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

求外接球半径的原理是：在Rt△OAO’中，OA2=OO’2+O’A2

常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法

1、三角形：

（1）等边三角形：

等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；

重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：

（其中a为等边三角形的边长）

（2）直角三角形：

结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r=。

（3）等腰三角形：

结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

由图可得：

（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理。

2、四边形

常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。

外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。

结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

【相似题练习】

2．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）

A．3 B． C．2 D．3

【知识点分析】：

类型一：直（正）棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O必位于上下两底面外心连线的中点处，即，从而R可求.

【相似题练习】

1．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

【知识点分析】：

类型二：侧棱垂直底面的三棱锥，法一：补形法：该几何体可由正三棱柱沿平面PBC切割得来，故可转化为原三棱柱的外接球；

法二：先确定底面三角形ABC的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’⊥平面ABC，同时：OP=OA，故，过O作OM⊥PA于M，此时M必为PA中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以，在直角三角形OO’A中有：.

【相似题练习】

2．已知在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，若PA⊥底面ABC且PA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A．32π B．28π C．24π D．20π

3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（）

A． B． C． D．

【知识点分析】：

类型三：正三棱锥：由底面正三角形边长可得r，在直角三角形OO’A中，，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，OO’=PO’-OP=H-R，代入即可求解.

【相似题练习】

3．正三棱锥P﹣ABC侧棱长为，侧棱与底面ABC所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为.

2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）

【知识点分析】：

类型四：侧面垂直于底面的三棱锥：设△ABC和△PAB的外心分别为O’,O’’，则PM⊥AB，球心设为O，则OO’⊥平面ABC，OO’’⊥平面PAB，从而四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，在Rt△OO’C中用勾股定理求解.

【讲透例题】

1．在四面体A﹣BCD中，AB＝5，BC＝CD＝3，DB＝2，AC＝4，∠ACD＝60°，则该四面体的外接球的表面积为．

解析：如图：取AB的中点O，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CDcos60°＝13，

在△ABD中，∵AB2＝BD2+AD2，∴∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OD，

在△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC，

∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径R＝AB＝，

∴S球＝4πR2＝4π（）2＝25π．故答案为：25π．

【相似题练习】

4.在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.

2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A