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工具变量法（一）：2SLS

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movetheworld.--Archimedes

实证研究的常见问题之一为“内生性”（endogeneity），即解

释变量与扰动项相关。研究者通常要花很大精力来解决内生性问题，

而工具变量法则是解决内生性的常用利器。

内生性及其后果

考虑最简单的一元线性回归模型：

其中，为被解释变量，为解释变量，与为待估计的未知参数，

下标表示个体（比如，第个企业），为随机扰动项（包含除外影响

的所有其他因素），而为样本容量。

内生性意味着解释变量与扰动项相关，即

如果存在内生性，则称解释变量为“内生变量”（endogenous

variable）；反之，则称为“外生变量”（exogenousvariable）。

内生性的严重后果是使得OLS估计量不一致（inconsistent），即无

论样本容量多大，OLS估计量也不会收敛至真实的参数值。

工具变量的思想

工具变量的思想其实很简单。虽然内生变量是“坏”的变量（与

扰动项相关），但仍可能有“好”的部分（与扰动项不相关的部分），

正如坏人通常也有好的一面。如果能将内生变量分解为内生部分与外

生部分之和，则可能使用其外生部分得到一致估计。

而要实现这种分离，通常需要借助另一变量，比如，称为“工具

变量”（InstrumentalVariable，简记IV），因为它起着工具性的作

用。

显然，并非任何变量都可以作为工具变量。首先，变量要能够帮

助内生变量分离出一个外生部分，则变量自身必须是“干净”的，即

满足“外生性”（与扰动项不相关）：

其次，变量还须与有一定关系，即满足“相关性”（与相关）：

寻找内生变量的外生部分

假设找到内生变量的有效工具变量，则可将对进行OLS回归，

从而分离出的外生部分：

此回归称为“第一阶段回归”（firststageregression）。由工

具变量的相关性（与相关）可知，；否则，无法实现此分离。记此回

归的拟合值（fittedvalue）为

其相应的残差（residual）为

显然，第一阶段回归将内生变量分解为两部分：

其中，第一阶段回归的拟合值为工具变量的线性函数，故为外生

部分（因为外生）；而其余的残差为内生部分。

二阶段最小二乘法

既然第一阶段回归的拟合值外生，故只要将替代原模型中的内生

变量，即可用OLS得到一致估计：

称此回归为“第二阶段回归”（secondstageregression）。不

难证明，在此回归中，与扰动项不相关。

首先，由于为工具变量的线性函数，故与不相关。

其次，根据OLS的正交性（陈强，2015，p.62），OLS回归的

拟合值与残差正交（orthogonal），故（第一阶段回归的拟合值）与

（第一阶段回归的残差）不相关。因此，OLS为一致估计。

由于此工具变量法通过两个OLS回归来实现，故称为“二阶段最

小二乘法”（TwoStageLeastSquares，简记2SLS）。

多个工具变量

如果有多个工具变量，比如与，也不难处理，只要将这两个工具

变量同时放入第一阶段回归即可：

而第二阶段回归依然不变。

加入控制变量

在多元回归中，一般还有其他的外生变量或控制变