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五、关于平行与垂直
1、I是△ABC的内心,AI、BI和CI的延长线分别交△ABC的外接圆于
D、E和F.
求证:EF⊥AD.
A
FI
E
B
C
D
证明:已知I是△ABC的内心,
∴AD、BE和CF是∠BAC、∠ABC和∠ACB的角平分线
∴⌒BD=⌒CD，⌒BF=⌒AF，⌒AE=⌒CE
∴⌒BD+⌒BF+⌒AE=⌒CD+⌒AF+⌒CE
∴⌒DF+⌒AE=⌒DE+⌒AF
∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE
∴EF⊥AD
2.A、B、C、D是圆周上“相继的”四点，P、Q、
R、S分别是弧AB、BC、CD、DA的中点，求证：PR
⊥QS.
A
S
D
P
R
B
C
Q
证明：∵P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴⌒AP=⌒PB,⌒BQ=⌒QC,⌒CR=⌒RD,⌒DS=⌒SA
∴⌒AP+⌒QC+⌒CR+⌒SA=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS
又∵⌒PQ+⌒RS=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS,⌒SP+⌒RQ=⌒AP+⌒
QC+⌒CR+⌒SA
∴⌒PQ+⌒RS=⌒SP+⌒RQ
∴SQ⊥PR
3、凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD
是平行四边形。
AB
F
O
E
DC
证明：设AC和BD相交于点O，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于
F，连接AF，CE
∵对角线BD平分四边形ABCD的面积
∴S△ABD＝S△CBD
∴AE=CF
又∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴AE∥CF
∴四边形AECF为平行四边形
∴AO=CO
同理可得BO=DOO
O
∴四边形ABCD是平行四边形
4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD
的中点。求证：EFGH是平行四边形。
A
F
B
X
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